7．1正切函数的定义7．2正切函数的图像与性质
内容要求1能借助单位圆中的正切线画出函数y＝ta
x的图像2掌握正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质重点3注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用难点．
知识点1正切函数的定义
1任意角的正切函数：
如果角α满足α∈R，α≠π2＋kπk∈Z，那么，角α的终边与单位圆交于点Pa，b，
b唯一确定比值a，我们把它叫作角α
的正切函数，记作y＝ta
α，其中α∈R，α≠π2＋kπ，
k∈Z
2正切函数与正弦、余弦函数的关系：
根据定义知ta

α
si
＝cos
αα
α
∈R，α
≠kπ
＋π2，k∈Z．
3正切值在各象限的符号：
根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其
正切函数值为负．
4正切线：
在单位圆中令A10，过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．
【预习评价】
1．若角α的终边上有一点P2x－13，且ta
α＝15，则x的值为

A．7
B．8
C．15
D45
解析由正切函数的定义ta
α＝2x3－1＝15，解之得x＝8
答案B
f2．函数y＝ta
2x的定义域为________．
解析由正切函数的定义知，若使y＝ta
2x有意义，则2x≠kπ＋π2k∈Z．
解得x≠k2π＋π4k∈Z．
答案xx≠kπ2＋π4，k∈Z

知识点2正切函数的图像及特征
1y＝ta
x，x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z的图像正切曲线：
2正切曲线的特征：
正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋π2k∈Z隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线
叫作正切曲线各支的渐近线．
【预习评价】
正切函数是奇函数，图像关于原点对称，那么正切函数的对称中心只有一个吗？
提示正切函数的对称中心除了原点外，诸如π，0等都是对称中心，正切函数有无数个
对称中心．
知识点3正切函数的性质
函数
y＝ta
x
定义域
值域周期性奇偶性
xx∈R，x≠π2
＋kπ
，k∈Z

R
周期为kπk∈Z，k≠0，最小正周期为π
奇函数
单调性
在－π2＋kπ，π2＋kπk∈Z上是增加的
【预习评价】正确的打“√”，错误的打“×”
1正切函数为定义域上的增函数×
2正切函数存在闭区间a，b，使y＝ta
x是增加的．√
f3若x是第一象限的角，则y＝ta
x是增函数×4正切函数y＝ta
x的对称中心为kπ，0k∈Z×
题型一正切函数的定义
【例1】已知角α的终边经过点P－4a3aa≠0，求si
α，cosα、ta
α的值．
解r＝－4r