第三章流体运动学
31粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？答：对于粘性流体定常平面流动，连续方程为：
uv0；
xy
存在函数：
Pxytv和Qxytu，
并且满足条件：
QP。
xy
因此，存在流函数，且为：
xytPdxQdyvdxudy。
32轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程答：如果流体为不可压缩流体，流动为无旋流动，那么流函数为调和函数，满足拉普拉斯方程。33就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。
（1）u

m2

x2
x
y2

v
m2

x2
y
y2
（2）u

Kty2x2
x2y22

v
2Ktxyx2y22
，其中m，K为常数。
答：（1）流场的加速度表达式为：
ax

ut
uux
vuy
ay

vt
uvx
vv。y
由速度分布，可以计算得到：u0v0，因此：tt
u
x

m2

y2x2x2y22
，uy

m2

2xyx2y2
2
；
vm
x2
2xyx2y2
，vm2y2

x2y2x2y22
。
1
f代入到加速度表达式中：
ax
0m2

x2
x
y2
m2

y2x2x2y22
m2

x2
y
y2

m2

2xyx2y2
2
m22
xx2y2
2
ay
0m2
xx2y2
m2

2xyx2y2
2
m2
yx2y2
m2

x2y2x2y22
m22
yx2y2
2
（2）由速度分布函数可以得到：
uKy2x2v2Kxytx2y22tx2y23
u2Ktxx23y2，u2Kty3x2y2；
x
x2y23y
x2y23
v2Ktyy23x2，v2Ktxx23y2。
x
x2y23y
x2y23
代入到加速度表达式中：
axK
y2x2x2y22

Kt

y2x2x2y2
2

2Ktx
x23y2x2y23
Kt
2xyx2y2
22Kty
3x2y2x2y23
K
y2x2x2y2
2

Kt2
2xx2y23
ayK
2xyx2y2
2
Kt
y2x2x2y2
2


2Kty
y23x2x2y23
Kt
2xyx2y2
22Ktx
x23y2x2y23
K
2xyx2y2
2
Kt2
2yx2y23
34已知欧拉参数表示的速度场分布为uxt，vyt，试求质点位移和速度的拉格朗
日表达式。已知t0时xa，yb。
2
f答：（1）流体质点的轨迹方程为：
dxdy

udtvdt
，
将速度分布带入，得到：
dxxtdtdyytdt
两个方程除了自变量之外，完全一致，只需要解一个即可。将第一个方程改写为：
dxxtdt
该方程为一阶非齐次常微分方程，非齐次项为t。先求齐次方程的通解，齐次方程为：
dxx，即dxdt；
dt
x
两端同时积分得到：
l
xtC，xCet。
（2）令非齐次方程的特解为：
xtCtet，
对其两端求导得到：
dxtCtetCtet；
dt
将上述xt和dxt代入到原非齐次方程中，有：
dt
CtetCtetCtett。
整理得到：
Cttet，
两端同时积分：
Cttetdtt1etC1
代入到特解中得到：
xtCtett1etC1ett1C1et。
（3）将初始条件tr