正弦定理和余弦定理
正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
sia
A＝sib
B＝si
cC＝2R
a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC
变形
1a＝2Rsi
A，b＝2Rsi
B，c＝2Rsi
C；2si
A＝2aR，si
B＝2bR，si
C＝2cR；3a∶b∶c＝si
A∶si
B∶si
C；4asi
B＝bsi
A，bsi
C＝csi
B，asi
C＝csi
A
cosA＝b2＋2cb2c－a2；cosB＝c2＋2aa2c－b2；cosC＝a2＋2ba2b－c2
S△ABC＝12absi
C＝12bcsi
A＝12acsi
B＝a4bRc＝12a＋b＋crr是三角形内切圆半径，并可由此计算R、r
选择题
在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有
A．1个
B．2个
C．0个
D．无法确定
解析∵bsi
A＝6×22＝3，∴bsi
Aab，∴满足条件的三角形有2个．
在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为23，则BC的长为
3A2
B3
C．23
D．2
解析因为S＝12×AB×ACsi
A＝12×2×23AC＝23，所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos60°＝3，所以BC＝3
已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是
1
fA．x＞2
B．x＜2
C．2＜x＜22
D．2＜x＜23
解析若三角形有两解，则必有a＞b，∴x＞2，又由si
A＝absi
B＝2x×22＜1，可得x＜22，∴x的取值范围是2＜x＜22
已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是
A．810
B．22，10
C．22，10
D．10，8
12＋x232，
解析因为31，所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可，故
即8x210
12＋32x2，
又因为x0，所以22x10
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bccosA，则△ABC为
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
解析已知bccosA，由正弦定理，得ssii
CBcosA，即si
Csi
BcosA，所以si
A＋Bsi
BcosA，即si
BcosA
＋cosBsi
A－si
BcosA0，所以cosBsi
A0又si
A0，于是有cosB0，B为钝角，所以△ABC是钝
角三角形．
在△ABC中，cos2B2＝a＋2cca，b，c分别为角A，B，C的对边，则△ABC的形状为

A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
解析∵cos2B2＝1＋2cosB，cos2B2＝a＋2cc，∴1＋cosBc＝a＋c，
a2＋c2－b2∴a＝cosBc＝2a，∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
解析
由正弦定理得sib
B＝si
cC，∴si
B＝bsic
C＝40×20
32
＝
31
2
f∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
若△ABC的三个内角满足si
A∶si
B∶sir