由条件f（1）2为f（x）的极值，必有f（1）0，故解得a1，c332因此，f（x）x3x，f（x）3x33（x1）（x1）f（1）f（1）0当x∈（∞，1）时，f（x）＞0，故f（x）在单调区间（∞，1）上是增函数当x∈（1，1）时，f（x）＜0，故f（x）在单调区间（1，1）上是减函数当x∈（1，∞）时，f（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，∞）上是增函数所以，f（x）在x1处取得极大值，极大值为f（1）23（2）由（1）知，f（x）x3x（x∈1，1）是减函数，且f（x）在1，1上的最大值Mf（1）2，f（x）在1，1上的最小值mf（1）2所以，对任意的x1，x2∈（1，1），恒有f（x1）f（x2）＜Mm2（2）4点评：本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．23．（10分）三次函数f（x）x3bx3b在1，2内恒为正值，求b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．3分析：f（x）＞0在1，2内恒成立，即3b（x1）＜x．对x分类讨论：①当x1时，由上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在1，2内恒成立
33
恒成立
，x∈（1，2，利用导数求出其最小值即可．
3
解答：解：由f（x）＞0在1，2内恒成立，即3b（x1）＜x．
10
f①当x1时，上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在1，2内恒成立恒成立，x∈（1，
2
，x∈（1，2．
令g（x）得．
，x∈（1，2，则
，由g（x）0，解
′
列表如下：
由表格可知：当x时，g（x）取得极小值，也即最小值，

．
∴3b
，解得
．．
综上①②可知：b的取值范围是
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论的思想方法、恒成立问题的等价转化是解题的关键．24．（10分）观察下列算式：2112134221359321357164213579255对任意正整数
，你能得出怎样的结论？用数学归纳法证明你的结论．考点：数学归纳法．专题：计算题；证明题．2分析：利用归纳推理以及所给式子的结构特征，得出结论13579（2
1）
．先证明
1时，等式成立，假设
k时，等式成立，在此基础上利用假设证明
k1
11
f时，等式也成立，从而得到等式对任意的
∈N均成立．解答：（1）观察算式：解：21121342213593213571642135792552可得135（2
1）
．证明：①
1时，左式右式1，等式成立．2②假设
k时，等式成立，r