的三点
因此CBBACA
由A，C’BD四点共圆，且C’ADDB‘C’因此AD是AC‘B’D的直径
由正弦定理有
CBADsi
CDBADsi
CAB
si
BACBC，所以CBADBC
2R
2R
同理BACDABCAACBD
2R
2R
因此ADBCCDABACBD
2R
2R
2R
即ADBCCDABACBD
至此，我们重新把求费马点至三顶点距离的长度和的问题提出，运用Ptolemy定
理解决：
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如图，设ABcACbBCa由AFC120，AB’C60，有A，F，B’C四点共圆
对AFCB‘运用Ptolemy定理有
FABCFCABACFB
因为ΔACB是等边Δ，因此
FAFCFB
所以FAFBFCBB
同理FAFBFCAACC
今考察ΔBCB‘，由余弦定理
BB2a2b22abcos60C
a2b22abcos60cosCsi
60si
C
a2b2abcosC3si
C
而ΔABC中si
C2SΔABCab
cosCa2b2c2代入上式有2ab
BB’2a2b2aba2b2c223SΔABC
2ab
ab
a2b2a2b2c223SΔABC2
a2b2c223SΔABC2
因此FAFBFCa2b2c223SΔABC2
其中ＳΔＡＢＣ＝ppapbpcpabc2
这里我们用到著名的求积公式
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SABCppapbpc其中pabc证略2
至此，本文平面几何圆的基础知识已经全部介绍完毕，这里将以著名的Chapple定理结束只做了解这是与圆幂定理的应用有关的定理之一Chapple定理：设R是ΔABC的外接圆半径，r是内切圆半径d是这两圆的圆心距，则d2R22Rr
证明：
连ＡＩ并延长交ΔＡＢＣ外接圆于Ｐ，并作直径ＰＯＱ，连ＢＱ设内切圆与ＡＢ的切点为Ｄ，连ＩＤ，ＩＢ则在ΔＡＤＩ与ΔＱＢＰ中，ＤＡＩ＝ＢＱＰＡＤＩ＝ＱＢＰ＝９０因此ΔＡＤＩ∽ΔＱＢＰ有AIDI即AIBPDIPQ2Rr
PQBPΔＩＢＰ中，IBP1AB
2BIPIABIBA1AB
2因此ＢＰ＝ＩＰ，由此AIBP＝AIIP2Rr，再由圆幂定理AIIPR2OI2R2d22Rr即d2R22Rr
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事实上Chapple定理对旁心也有相应的公式，不过是等号右边的符号变但对本文不提及旁心，因此略去
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习题：
第一部分四点共圆的应用1如图，在△ABC中，ABAC任意延长CA到P，再延长AB到Q使APBQ求证：△ABC的外心O与APQ四点共圆1994年全国初中数学联合竞赛二试第1题
2如图，在ABC中，ABACD是底边BC上一点，E是线段ADr