，PE垂直AB，延长DE交CA于F则问题等价于证明PF垂直AC连PF四边形AFCDBE是完全四边形所以由完全四边形的Miquel定理（引理）
ABC，BDE，AEF，CDF共点注意到PEBPDB所以P，B，D，E四点共圆所以ABC与BDE交于点P和B因此完全四边形FACDBE的Miquel点非P则B而A，E，B是同一直线上三点因此A，E，F，B不可能共圆因此P是完全四边形FACDBE的Miquel点由此P，E，F，A四点共圆则PFA90今逆定理证略
从这个证明我们看到Miquel定理的威力不仅在于圆共点，而且对于共点圆也同样
适用
在有了Simso
定理之后，我们可以运用Simso
定理来给予完全四边形的Miquel
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定理一个新的证明（即前面的引理）
证明：
设BCE与CDF非C的一个交点为M，过M作MP垂直BE，MQ垂直EC，其余同理。因为M在BCE上，由Simso
定理，PQR是共线的三点同理对ΔCDF运用Simso
定理，有QRS也是共线的三点因此P，Q，R，S四点共线而注意到P，Q，S是点M对ΔADE三边的垂直且共线欲Simso
定理逆定理，得A，M，D，E四点共圆同理A，B，F，M四点共圆因此BCE，CDF，ADE，ABF共点于M
由这个证明，我们可以知道完全四边形的Miquel定理和Simso
定理是等价的
能够运用Simso
定理证明的必也可用完全四边形的密克定理证明，反之亦然
这样，Simso
定理便与密克定理产生了莫大的关联
例如图，P为ΔABC外接圆上一点，作P‘ABC交圆周于A’，作PB‘直线AC交
圆周于B’，C’同理。求证：AA’BB‘CC’
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证明：设PA’交BC于D，PB’交AC于E，F同理，则由Simso
定理知，DEF三点共线由图形看来，题断三条互相平行的线均与Simso
线平行，因此可以试证连PB而注意到P，B，D，F四点共圆，因此EDBFDBPBAPA‘A因此AA’与Simso
线平行。其余同理事实上，Simso
定理可以作推广，成为Car
ot定理Car
ot定理：通过ΔABC外接圆上的一点P，引与三边BC，CA，AB分别成同向等角（即PDBPECPFB）的直线PD，PE，PF与三边或其所在直线的交点分别为D，E，F则D，E，F是共线的三点可以仿照前面的证明这里的证明也可以运用四点共圆的判定定理与性质，再证DEF180证明留给读者，作为习题
5．Ptolemy定理本文主要介绍一些平面几何圆中较为重要和常用的定理，而Ptolemy定理是一个
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十分重要的定理，及其也有重要的推广Ptolemy定理：若四边形ABCD是圆内接四边形，则ABCDADBCACBD
证明：
如图，设ABCD外接圆半径为R，连AC，过点D作ΔABC各边的垂线
分交AB于CAC于B’BC于A‘，则由Simso
定理，ABC是共线r