上一点，且BED2CEDA求证：BD2CD1992年全国初中数学联合竞赛二试第2题
3如图，设ABCD为⊙O的两直径，过B作PB垂直于AB并与CD延长线相交于点P过P作直线与⊙O分别交于EF两点，连结AEAF分别与CD交于GH求证OGOH20XX年我爱数学初中生夏令营一试第2题
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第二部分圆幂定理的应用4如图，等边三角形ABC中，边AB与⊙O相切于点H，边BCCA与⊙O交于点DEFG。已知AG2GF6FC1则DE_______第33届美国中学生数学邀请赛试题改编
5如图，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N求证PN2MNNQ
6如图已知点P是O外一点PSPT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB交O于AB两点，并交ST于点C求证111120XX年TI杯全国
PC2PAPB
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初中数学竞赛B卷第14题
第三部分Ptolemy定理的应用7已知abxy是正实数，且a2b21x2y21，求证axby18从锐角△ABC的外心O向它的边BCCAAB作垂线垂足分别为DEF设△ABC的外接圆和内切圆半径分别为Rr求证ODOEOFRr9设△ABC与△A’B’C’的三边分别为abc与a’b’c’且∠B∠B’∠A∠A’180试证aa’bb’cc’第四部分Simo
定理的应用10．证明Car
ot定理11如图△ABC的边BC上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC的延长线于F求证BCEFBFCEBECF
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12设P为ABC外接圆圆周上一点P在边BCCAAB上的射影分别为LMN令
PLlPMmPN
BCaCAbABc求证m
al
blmc（提示：应
用张角定理设P为△ABC的边BC上一点，∠BAP，∠CAP则
si
si
si
，证略）
AP
ACAB
习题解答：
1．
证明：
如图，连QP，OP，OA，OQ，OB要证A，O，P，Q四点共圆，考虑到视角定理，可证OPAOQA而考虑到条件，因此可证ΔAPQΔBQO而APBQ，OBOA，OBQ180OBA180OAB180OACOAP因此ΔAPQΔBQO，故OPAOQA得证
2证明
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作AEB的平分线交AB于点G则12
1180BED1180BACABC
2
2
GEDB四点共圆
23
故GBD为等腰三角形
设F为BD中点连GF则67
过点G作GHBC叫AC与点H连HD易知AGAH
注意到AGABAEADAHAC
EDCH四点共圆所以45
56
可知
GBFHCD
故BFCD于是BD2CD
3．
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