，CF是ΔABC的三条高，垂心为H，则A，E，F，HB，D，F，HC，D，E，H共三组四点共圆由此可见AEF，BDF，CDE共于一点H而H就是垂心
有了Miquel定理，我们可以对垂心有一个新的看法
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HD是BDF与CDE的根轴对HE，HF同理而ADBADC90因此BDF与CDE的连心线平行于BC（中位线定理）因此HD垂直于BCHE，HF同理因此垂心可以被认为是这三圆的根轴的交点（根轴性质3）
用同样的方法可以对内心，外心以同样的解释：
由此可见，共点圆与三角形的特殊点有很大的关系，上述3种只是最简单的最容易发现的提起外心就会联想到外接圆，这里不得不提一个常用定理：正弦定理正弦定理：ΔABC中，外接圆半径R，则
BCACAB2Rsi
Asi
Bsi
C
证明：
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作直径AOD，连BD
则ABD90，ADBACB
因此在RtΔABD中
其余同理
ABABAD2R
si
ADBsi
C
想到三角函数里面的函数名，那么自然会想到余弦定理
余弦定理：
ΔABC中ABcACbBCaa2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2b2a22abcosC
证明：
作BC边上的高ADCDACcosCbcosCBDBCCDabcosC因此AB2BD2AC2CD2即c2abcosC2b2bcosC2c2a2b2cos2C2abcosCb2b2cos2C即c2a2b22abcosC其余同理
接着便就是著名的费马点，它也与共点圆有关系
费马点，即ΔABC内一点，使其到三顶点距离之和最小的点
当ΔABC任一内角都120时，费马点存在于内部，当Δ有一内角120时费马
点与此角顶点重合
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设ΔABC中任一内角均120，则费马点F可以通过如下方法作出来：分别以AB，AC，BC向外作正Δ，连接对着的顶点，则得事实上，点F是这3个正Δ的外接圆所共的点而FAFBFC其实就是顶点到对着的正Δ顶点的连线的长而且之后将会有一种方法计算FAFBFC的长度而这将会在之后进行讨论4．Simso
定理
Simso
定理是常用而且著名的定理，多用于证明点共线，其逆定理也成立
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Simso
定理：P是ΔABC外接圆上一点，过点P作PD垂直BC，PE垂直于AB，
同理PF
则D，E，F是共线的三点
直线DEF称为点P关于ΔABC的Simso
线
引理（完全四边形的Miquel定理）：四条直线两两交于A，B，C，D，E，F六点
则ABF，BCE，CDF，DAE共点
先从ΔABF对E，C，D三点运用密克定理，则BCE，CDF，DAE共点ΔDAE对B，C，F三点运用密克定理，则ABF，BCE，CDF共点因此ABF，BCE，CDF，DAE共点
其中所共的点叫做完全四边形的Miquel点
证明：这里运用Miquel定理作为证明设PD垂直BCr