等号成立，此时Ft恰好取得最大值，则由t21a1，
f故2a1a1。又Ft在区间t12上是减函数，在区间t2a1上是增函数，由于F1
1a1a11，Fa1。则有，由于a0，得1a9。3a33a3
故满足条件的所有自然数a的集合为123456789。
23．（本题满分18分）第1小题满分为4分，第2小题满分为7分，第3小题满分为7分。已知函数fx2
112aRa0。aax
（1）设m
0，判断函数fx在m
上的单调性，并加以证明；（2）设0m
且a0时，fx的定义域和值域都是m
，求
m的最大值；（3）若不等式a2fx2x对x1恒成立，求实数a的取值范围。解：（1）设mx1x2
，则fx1fx2
xx112122。ax1ax2ax1x2
2
m
0，mx1x2
，x1x20x1x20。
fx1fx20，即fx1fx2
∴函数fx在m
上的单调递增。（2）由⑴及fx的定义域和值域都是m
，得fmmf
。因此m
是方程2
22
112x的两个不相等的正数根。aax
2
等价于方程ax2aax10有两个不等的正数根，
a02222aa4a021即：xx2aa0a。122a21x1x220a

mx1x2
341216432，2aaa33
1343a，a时，
mmax。223
22（3）afx2aa
1a0，则不等式a2fx2x对x1恒成立，x
fa01212即2x2aa2x，∴2aa2x，对x1恒成立。xx122aa2xx
11x1，gx2xx1，xx1易知：hx在1递增，同理gx2x在1递减。x
令hx2x
hxmi
h13gxmaxg11。
a032a2a3a0222aa1
01。
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