第二十一讲应用问题的解题技巧应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题．应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证．这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义．下面举出几个例题，略述一下解应用问题的技能和技巧．1．直接设未知元在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设未知元法．例1某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．分析本例中要求三个量，即参赛人数、未参赛人数，以及初中一年级人数．由已知条件易知，可直接设未参赛人数为x，那么参赛人数便是3x．于是全年级共有x3x人．由已知，全年级人数减少6人，即x3x6，①而未参加人数增加6人时，则参加人数是未参加人数的2倍，从而总人数为x62x6．②由①，②自然可列出方程．解设未参加的学生有x人，则根据分析，①，②两式应该相等，所以有方程x62x6x3x6，所以x62x124x6，所以3x184x6，所以x24人．所以未参加竞赛的学生有24人，参加竞赛的小学生有3×2472人．全年级有学生
f4×2496人．说明本例若按所求量次序设参加人数为x人，则未参加人数为
例2一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件，若他每天多做做多少个零件？定期是多少天？分析若直接设这个工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做
另一方面，如果他每天少做5个，则要增加3天工期，因此，
显然，将此两式联立，解出x，y即可．解设工人要做x个零件，定期为y天，则他每天做xy个，依分析有方程组
整理得
②×2①得
f将x50y代入②得y27，x50y1350，
答工人要做1350个零件，定期为27天．例3一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？解设起初有汽r