示，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（）A．
132
B．
12
C．
12
D．
142
解析：如图所示，由题意知，
1212πrh＝πRh，36
∴r＝
R．又△ABO∽△CAO，2
rOAR2R2∴，∴OA＝rR＝OA4，OAR22
∴cosθ＝
图
OA14，答案为D。R2
点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。题型八：球的体积、表面积例8．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PAPBPCa，求这个球的表面积。
解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。在三棱锥PABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PAPBPCa∴ABBCCA2a且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。
由正弦定理，得
2a62r∴ra。si
603
又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径Rr2d2。又PO′PA2r2a
2
322a，a33
f∴OO′R－
2
33
2
adR2r2R－
33
a2R2
623a，解得Ra32
∴S球4πR3πa。点评：本题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R
3a下略。2
题型九：球的面积、体积综合问题例9．（1）表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积。（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。解：（1）设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，
则作轴截面如图，AA14，AC
2又∵4R324，∴R9，
2a，
∴AC
AC2CC282，∴a8，
∴S表6423214576（2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H
由题设
AG
AE2GE2
6a3
6aR63，得Ra1233aa62R
∵
△AOF∽△AEG
∴
f∵
△AO1H∽△AOF
∴
6a2Rrr63，得raR246aR3
3
∴
V球O1
44663r3aa33241728
点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。题型十：球的经纬度、球面距离问题例10．（1）我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km？（地球半径大约为6370km）（2）在半径为13cm的球面上有ABCr