存在性问题
【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题这类问题的知识覆盖面较广综合性较强题意构思非常精巧解题方法灵活对学生分析问题和解决问题的能力要求较高存在性问题按定性可分为肯定型和否定型存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算对基础知识基本技能要求较高并具备较强的探索性正确、完整地解答这类问题是对我们知识、能力的一次全面的考验【解题策略】不同的存在性问题解法不同下面按照解法及设问方式的不同将存在性
问题分为代数方面的存在性问题如方程根是否存在、最值是否存在等、点的存在性问题如构成特殊图形的点是否存在并举例分析1代数方面的存在性问题的解法思路是将问题看成求解题进行求解进而从有解或无解的条件来判明数学对象是否存在这是解决此类问题的主要方法2点的存在性问题的解法思路是假设存在→推理论证→得出结论若能导出合理的结果就做出“存在”的判断若导出矛盾就做出不存在的判断
类型一代数方面的存在性问题典例12014湖北随州已知两条平行线l1l2之间的距离为6截线CD分别交l1l2于CD两点一直角的顶点P在线段CD上运动点P不与点CD重合直角的两边分别交l1l2与AB两点1操作发现如图1过点P作直线l3∥l1作PE⊥l1点E是垂足过点B作BF⊥l3点F是垂足此时小明认为△PEA∽△PFB你同意吗为什么2猜想论证将直角∠APB从图1的位置开始绕点P顺时针旋转在这一过程中试观察、猜想当AE满足什么条件时以点PAB为顶点的三角形是等腰三角形在图2中画出图形证明你的猜想3延伸探究在2的条件下当截线CD与直线l1所夹的钝角为150°时设CPx试探究是否存在实数
1
fx使△PAB的边AB的长为4
请说明理由
1
2
【全解】1如图1由题意得∠EPA∠APF90°∠FPB∠APF90°
∴∠EPA∠FPB
又∠PEA∠PFB90°
∴△PEA∽△PFB
2如图2∵∠APB90°
∴要使△PAB为等腰三角形只能是PAPB
1
2
当AEBF时PAPB
∵∠EPA∠FPB∠PEA∠PFB90°AEBF∴△PEA≌△PFB∴PAPB
3如图2在Rt△PEC中CPx∠PCE30°
2
f整理得x212x80解得x620舍去或x626612且CD12
∵x62
∴点P在CD的延长线上这与点P在线段CD上运动相矛盾∴不合题意
综上不存在满足条件的实数x举一反三12014山东烟台如图点Am6B
1在反比例函数图象上AD⊥x轴于点DBC⊥x轴于点CDC51求m
的值并写出反比例函数的表达式2连接AB在线段DC上是否存在一点E使△ABE的r