2015年浙江省高中数学竞赛试卷及参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a2，b
2”是“曲线C：
x2y21abRab0经过点a2b2

21”的A．

A．充分不必要条件C．充分必要条件答案：A解答：当a2，b
B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2曲线C：
x2y21经过a2b2

21；当曲线C：

x2y21经过a2b2
点

21时，即有

211，显然a2b2也满足上式。所以“a2，b2”a2b2
是“曲线C：
x2y21经过点a2b2

21”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120的三角形的三边长分别为mm1m2，则实数m的取值范围为B．B．1m
A．m1答案：B
32
C．
3m32
D．m3
D1A1B1MCBC1
解答：由题意可知：
mm1m231m解得。2222m2mm1mm1
3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为BB1的中点，则二面角MCD1A的余弦值为C．A．
A
D
第3题图
36
B．
12
C．
33
D．
63
答案：C解答：以D为坐标原点，DADCDD1所在的直线分别为xyz轴建立空间直角坐标系，则
1D000A100C010D1001M11，且平面ACD1的法向量为2
f法向量为
2122。因此cos
1
2
1111，平面MCD1MCD1A的余弦值为
3，即二面角3
3。3
C．
ab20a2b4．若实数ab满足ba10，则的最大值为2aba1
A．1答案：C解答：由ab满足的条件知1B．
54
C．
75
D．2
a2bb3，所以2a2ab
32ba

713，当ab取等225
号。5．已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则
SPQRSABC
14
的最小值为
D
．
A．
12
B．
13
C．
D．
15
参考答案：D解答：如图51所示，
A
A
PH
RPBQ图51CR图52Q
B
C
（1）当PQR的直角顶点在ABC的斜边上，则PCQR四点共圆，
fAPRCQR180BQR所以si
APRsi
BQR在APRBQR中分别应
用正弦定理得
PRARQRBR又AB45故PRQR故si
Asi
APRsi
Bsi
BQR
ARBR即R为AB的中点
12SPQRPR22BC11此过R作RHAC于H，则PRRHBC所以222Sr