1981年2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编9、解析几何部分
2018A
4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C

x2a2

y2b2
1（ab0）的左右焦点分别
是F1F2，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段
PUPSPVPT的长分别为1236，则PF1F2的面积为
◆答案：15
★解析：由对称性，不妨设点P
x0y0在第一象限，则x0

PT
PS2
2，
PVPU
y0
2
1
即P21。进而可得U22，S41，代入椭圆方程解得：a220，b25，从而
SPF1F2
12F1F2y0
122
151
15。
2018B6、设抛物线Cy22x的准线与x轴交于点A，过点B10作一直线l与抛物线C
相切于点K过点A作l的平行线，与抛物线C交于点MN，则KMN的面积为为
◆答案：12
★解析设直线l与MN的斜率为k，lx1y1，MNx1y1分别联立抛物线方
k
k2
程得到：
y22y20（），和y22y10（）
k
k
对（）由0得k2；对（）得yMyN
2
442k2
所以SKMN
SBMNSBAMSKBAN
1

2
AB

yM

yN
12
f2017A3、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为x2y21，F是C的焦点，A为910
C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积最大值为◆答案：311
2
★解析：由题意得A30，F01，设P点的坐标为3cos10si
，其中0，2
则
SOAPF

SOAP

SOFP

12
3
10si
13cos311si
，可得面积最大
2
2
值为311。2
2017B7、设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2ay2a20的焦距
为4，则实数a的值为
．
◆答案：1172
★解析：二次曲线方程可写成
x2a2

y2a
1，显然必须a0，故二次曲线为双曲线，其
标准方程为

y2a2

x2a2
1，则c2


a2a2a2a，注意到焦距2c4，
可知a2a4，又a0，所以a1172
2018A11、（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y24x的过点F10的弦，AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点OAB）．若PF平分APB，
f求PF的所有可能值。
★解析：设
A
y124

y1

，
B
y224

y2

，
A
y324

y3

，由已知条件知
y1
y2
y3
两两不等且不
为0
设直线
AB
r