∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO＝∠AOD＝90°，∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．2如图所示，连接BE，则∠ADE＝∠ABE．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6cm．
在Rt△ABE中，si
ABEAE5．AB6
∴si
∠ADE＝si
∠ABEAE5．AB6
【点评】证明某直线是圆的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线垂直．第2题通过作辅助线BE，将问题巧妙转化为Rt△ABE的边角关系．在圆的有关证明中若有直径，一般要
f利用“直径所对的圆周角等于90°”这一性质构造直角三角形．举一反三：
【变式】如图，C、D是半圆O上两点，CD5，求cosCEB和ta
CEB．AB11
DC
E
A
B
O
【答案】如图，连结BC，则∠ACB90°，易证△ECD∽△EBA，
∴
CEEB

CDAB

511
，cos∠CEB
CEEB

511

ta
∠CEB
BCCE

4
65

类型五、三角函数与实际问题
5．如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离结果保留根号．
【思路点拨】由题意知△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自
然作PC⊥AB交AB于C．【答案与解析】
过点P作PC⊥AB垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，
在Rt△APC中，cosAPCPC．PA
∴PC＝PAcos∠APC＝403，
在Rt△PCB中，cosBPCPC，PB
∴PB

PCcosBPC

40cos
345°

40
6
∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是406海里．
【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过75°或105°角的顶点向对边作垂线是解决问题的关键．
f举一反三：【变式】如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．
【答案与解析】解：过P作PC⊥AB于点C，在Rt△ACP中，PA40海里，∠APC45°，si
∠APC，cos∠APC，∴ACAPsi
45°40×40（海里），PCAPcos45°40×40（海里），在Rt△BCP中，∠BPC60°，ta
∠BPC，∴BCPCta
60°40（海里），则ABACBC（4040）海里．
6．如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°
降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到001）（2）若斜坡的正前方能有3米长的r