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fxdx
fttdtGtC,其中t
x为xt的反函数。
分部积分法:设uxvx均有连续的导数,则
uxdvxuxvxvxdux或者uxvxdxuxdvx
在本题中,
2令xt,xt,dx2tdt
原式


0
tcost2tdt2t2costdt2t2dsi
t
00


2t2si
t02tsi
tdt22tdcost00
22tcost02costdt4cos2si
t040
11已知曲线L的方程为y1xx11起点是10,终点是10,则曲线积分



L
xydxx2dy
【答案】0【考点】第二类曲线积分【详解】本题涉及到的主要知识点:曲线积分的基本计算方法是:代公式,化为定积分,特别要注意定积分限的配置,第二类线积分与曲线定向有关,第一类曲线积分与曲线定向无关。在本题中,

L
xydxx2dyxydxx2dyxydxx2dy
L1L2
0110
x1xdxx2dxx1xdxx2dx
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0
1
2x
2
xdxx2x2dx
10
01
2x3x2x22x3211202123032233
12设【答案】
xyzx
2
y2z1,则的形心的竖坐标z

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【考点】曲线积分和曲面积分的应用【详解】本题涉及到的主要知识点:多元函数积分学的应用包括几何应用(求平面图形与曲面的面积、求空间立体的体积与空间曲线的弧长)与物理应用(求变力做功,物体的重心,转动惯量,引力及流体的流量等)。三重积分的应用主要有两种情形:(1)截面面积已知的情形
xyzzxyDz,Dz的面积为Sz则的体积
VdVdzdxdySzdz





Dz
(2)曲顶面底柱形区域的情形。
xyzz1xyzz2xyxyDxy,
则的体积V
dxdy
Dxy
z2xy
z1xy
dzz2xyz1xydxdy
Dxy
在这种情形要确定上、下曲面及投影区域。在本题中,
zdxdydzdrdrdxdydzdrdr
21r
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