立的随机变量，且
XN01Y2

可以证明函数
的概率密度为
TXY

ft

12

1

t2

1
2
2
t
我们称随机变量T服从自由度为
的t分布，记为T～t
。
t1
t

设X2
1Y2
2，且X与Y独立，可以证明
FX
1的概率密度函数为Y
2
f

y




1
22
1
222


1
2

1
2

11y21

1
2

1
2
2yy0


0y0
我们称随机变量F服从第一个自由度为
1，第二个自由度为
2的F分布，记为F～f
1
2
F1

1
2

F
1
2
1
1
f概率论与数理统计公式（全）
201111
第四章随机变量的数字特征
（1）一维随机变量的数字特征
期望期望就是平均值
函数的期望
离散型设X是离散型随机变量，其分布
律为PXxk＝pk，
k12…
，

EXxkpkk1
连续型设X是连续型随机变量，其概率密度为fx，
EXxfxdx
（要求绝对收敛）
（要求绝对收敛）YgX
YgX

EYgxkpkk1

EYgxfxdx
方差DXEXEX2，标准差
XDX，
矩
DXxkEX2pk
k

DXxEX2fxdx
①对于正整数k，称随机变量X
的k次幂的数学期望为X的k
阶原点矩，记为vk即
νkEXk
x
ki
pi

i
k12…
②对于正整数k，称随机变量X
与E（X）差的k次幂的数学期
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk即
νkEXkxkfxdxk12…
②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X
望为X的k阶中心矩，记为k，的k阶中心矩，记为k，即
即
kEXEXk

xiEXkpi
i
k12…
kEXEXk


x

EXk
f
xdx
，

k12…
1
f概率论与数理统计公式（全）
201111
切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望E（X）μ，方差D（X）σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
PX22
切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率
PX
（2）期望的性质
（3）方差的性质
（4）常见分布的期望和方差
（1）ECC（2）ECXCEX
的一种估计，它在理论上有重要意义。



（3）EXYEXEY，ECiXiCiEXi
i1
i1
（4）EXYEXEY，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。
（1）DC0；ECC（2）DaXa2DX；EaXaEX（3）DaXba2DX；EaXbaEXb（4）DXEX2E2X（5）DX±YDXDY，充分条件：X和Y独立；
充要条件：X和Y不相关。DX±YDXDY±2EXEXYEY，无条件成立。而EXYEXEY，无条件成立。
期望
方差
01分布r