及其分布
（1）联合离散型分布
如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列
个有序对（xy），则称为离散型随机量。
设（X，Y）的所有可能取值为xiyjij12，
且事件xiyj的概率为pij称PXYxiyjpijij12
为（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分
布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…





xi
pi1
…
pij
…





这里pij具有下面两个性质：（1）pij≥0（ij12…）；
（2）
pij1
ij
1
f概率论与数理统计公式（全）
201111
连续型
对于二维随机向量XY，如果存在非负函数
fxyxy，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域D，即DXYaxbcyd有
PXYDfxydxdy
D
则称为连续型随机向量；并称fxy为（X，Y）的分布
密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度fxy具有下面两个性质：
（1）fxy≥0
（2）二维随机变量的本质（3）联合分布函数

（2）
fxydxdy1

XxYyXxYy
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数xy二元函数
FxyPXxYy
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
12X1xY2y的概率为函数值的一个实值函
数。分布函数Fxy具有以下的基本性质：
（1）0Fxy1
（2）F（xy）分别对x和y是非减的，即当x2x1时，有F（x2y）≥Fx1y当y2y1时，有Fxy2≥Fxy1（3）F（xy）分别对x和y是右连续的，即
FxyFx0yFxyFxy0
（4）FFyFx0F1
（5）对于
x1

x2，y1

y
，
2
Fx2，y2Fx2，y1Fx1，y2Fx1，y10
（4）离散PXx，YyPxXxdx，yYydyfx，ydxdy
型与连续型的关系
1
f概率论与数理统计公式（全）
201111
（5）边缘离散型分布
连续型
（6）条件离散型分布
连续型
X的边缘分布为
PiPXxipijij12；
j
Y的边缘分布为
PjPYyjpijij12。
i
X的边缘分布密度为
fXx
fxydy；

Y的边缘分布密度为

fYy
fxydx

在已知Xxi的条件下，Y取值的条件分布为
PY

yj
X
xi
pijpi
；
在已知Yyj的条件下，X取值的条件分布为
PX

xi
Y

yj
pijpj

在已知Yy的条件下，X的条件分布密度为
fxyfxy；fYy
在已知Xx的条件下，Y的条件分布密度为
fyxfxyfXx
（7）r