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角恒等变换及诱导公式进行变形;统一为“边”后,要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形.3求值时注意方程思想的运用.
2
f变式训练△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asi
A+csi
C-2asi

C=bsi
B
1求角B的大小;2若A=75°,b=2,求a,c解:1由正弦定理得a+c-2ac=b由余弦定理得b=a+c-2accosB故cosB=2,因此B=45°2
222222
2si
A=si
30°+45°=si
30°cos45°+cos30°si
45°=2+64si
A故a=b×=1+3si
B由已知得,C=180°-45°-75°=60°,
c=b×
si
Csi
60°=2×=6si
Bsi
45°
专题二判断三角形的形状问题例2已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
a3+b3-c32=c,且acosa+b-c
B=bcosA,试判断△ABC的形状.
解:由
3
a3+b3-c32=c,a+b-c
3323
得a+b-c=ca+b-c,所以a+b-ab=c,1所以cosC=0,2又因为C∈0°,180°,所以C=60°由acosB=bcosA,得2Rsi
AcosB=2Rsi
BcosAR为△ABC外接圆的半径,所以si
A-B=0,又因为A-B∈-180°,180°,所以A-B=0°,所以A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.归纳升华利用正、余弦定理判断三角形形状的方法主要有两种方法:方法一,通过边之间的关系判断形状;方法二,通过角之间的关系判断形状.
3
222
f利用正、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化,把条件转化为边的关系或转化为角的关系.变式训练在△ABC中,若a+bsi
A-B=a-bsi
A+B,请判断三角形的形状.解:因为a+bsi
A-B=a-bsi
A+B,所以a+bsi
AcosB-cosAsi
B=a-bsi
AcosB+cosAsi
B,所以2bsi
AcosB-2acosAsi
B=0,
22222222222222
asi
AcosB所以2=,bcosAsi
Ba2si
2A又由正弦定理可得2=,bsi
2B
si
AcosBsi
A所以=2,cosAsi
Bsi
BcosBsi
A所以=,所以si
2A=si
2BcosAsi
B又因为A∈0,π,B∈0,π,所以2A=2B或2A+2B=π,π即A=B或A+B=,2所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.专题三正、余弦定理的实际应用例3航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180kmh,飞机先看到山顶的俯角为15°,经过420s后又看到山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度取2≈14,3≈17.
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2
解:如图所示,根据题意可得∠A=15°,∠DBC=45°,所以∠ACB=30°,
AB=180×
420=21km=21000m.3600
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f所以在△ABC中,=,si
Asi
∠ACB21000所以BC=si
15°=105006-2m.12因为CD⊥AD,r
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