第一章解三角形
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警示易错提醒
1．三角形解的个数的确定易错点
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两
解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余
弦定理．
1利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理sia

bA＝si

B，得si
B＝bsia

A
若si
B＞1，无解；若si
B＝1，一解；若si
B＜1，两解．2利用余弦定理讨论：已知a、b、A由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－2bcos
Ac＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若
方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．
2．三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角如：a＝2Rsi
A，a2＋b2－c2＝2abcosC等，利用三角变换得出三角形内角之间的关系
进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
si
A＝si
BA＝B；si
A－B＝0A＝B；si
2A＝si
2BA＝B或A＋B＝π2等；
1
f二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：si
A＝2aRR为△ABC外接圆半径，cosA＝b2＋c2－a2
2bc等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断．3解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：
首先分析此题属于哪种类型的问题如测量距离、高度、角度等，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中目的是发现已知量与未知量之间的关系，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求．
专题一利用正、余弦定理解三角形自主研析
例1△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c已知c＝2，C＝π3
1若△ABC的面积等于3，求a，b；2若si
B＝2si
A，求△ABC的面积．自主解答1由余弦定理得a2＋b2－ab＝4又因为△ABC的面积等于3，所以12
absi
C＝3，得ab＝4
联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，
解得a＝2，b＝2
2由正弦定理已知条件可化为b＝2a，
联立方程组ab2＝＋2ba2，－ab＝4，
解得
a＝2
3
3，b＝4
3
3，
所以△ABC的面积S＝12absi

C＝2
3
3
归纳升华正、余弦定理应用需注意的三个方面
1正弦定理和余弦定理提示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一．
2统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一r