ab
cabba2
1421422
2

做8个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、b斜边长为c再做三个边长分别为a、b、c的正方形把它们像上图那样拼成两个正方形
从图上可以看到这两个正方形的边长都是ab所以面积相等即整理得222cba
【证法2】邹元治证明
以a、b为直角边以c为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于ab21
把这四个直角三
角形拼成如图所示形状使A、E、B三点在一条直线上B、F、C三点在一条直线上C、G、D三点在一条直线上∵RtΔHAE≌RtΔEBF
∴∠AHE∠BEF∵∠AEH∠AHE90∴∠AEH∠BEF90∴∠HEF180—9090∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形它的面积等于c2
∵RtΔGDH≌RtΔHAE∴∠HGD∠EHA∵∠HGD∠GHD90∴∠EHA∠GHD90又∵∠GHE90
∴∠DHA9090180
∴ABCD是一个边长为ab的正方形它的面积等于2
ba
f∴
2
22
4cabba∴2
22cba
【证法3】赵爽证明
以a、b为直角边ba以c为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角
三角形的面积等于ab21
把这四个直角三
角形拼成如图所示形状
∵RtΔDAH≌RtΔABE∴∠HDA∠EAB∵∠HAD∠HAD90∴∠EAB∠HAD90
∴ABCD是一个边长为c的正方形它的面积等于c2
∵EFFGGHHEb—a∠HEF90
∴EFGH是一个边长为b—a的正方形它的面积等于2
ab
∴2
2
214cabab
∴2
22cba
【证法4】1876年美国总统Garfield证明
以a、b为直角边以c为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于ab21
把这两个直角三
角形拼成如图所示形状使A、E、B三点在一条直线上
∵RtΔEAD≌RtΔCBE∴∠ADE∠BEC∵∠AED∠ADE90∴∠AED∠BEC90∴∠DEC180—9090∴ΔDEC是一个等腰直角三角形
它的面积等于2
21c
f∴AD∥BC
∴ABCD是一个直角梯形它的面积等于2
21
ba∴2
2212122
1
cabba∴2
22cba
【证法5】梅文鼎证明
做四个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、b斜边长为c把它们拼成如图那样的一个多边形使D、E、F在一条直线上过C作AC的延长线交DF于点P
∵D、E、F在一条直线上且RtΔGEF≌RtΔEBD∴∠EGF∠BED∵∠EGF∠GEF90°
∴∠BED∠GEF90°∴∠BEG180—9090又∵ABBEEGGAc∴ABEG是一个边长为c的正方形∴∠ABC∠CBE90∵RtΔABC≌RtΔEBD∴∠ABC∠EBD∴∠EBD∠CBE90即∠CBD90
又∵∠BDE90∠BCP90
BCBDa
∴BDPC是一r