个边长为a的正方形同理HPFG是一个边长为b的正方形设多边形GHCBE的面积为S则
21222abSbaab
Sc21
22
∴2
22cba
f【证法6】项明达证明
做两个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、bba斜边长为c再做一个边长为c的正方形把它们拼成如图所示的多边形使E、A、C三点在一条直线上
过点Q作QP∥BC交AC于点P过点B作BM⊥PQ垂足为M再过点F作FN⊥PQ垂足为N
∵∠BCA90QP∥BC∴∠MPC90∵BM⊥PQ∴∠BMP90
∴BCPM是一个矩形即∠MBC90∵∠QBM∠MBA∠QBA90∠ABC∠MBA∠MBC90∴∠QBM∠ABC
又∵∠BMP90∠BCA90BQBAc∴RtΔBMQ≌RtΔBCA同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF
从而将问题转化为【证法4】梅文鼎证明【证法7】欧几里得证明
做三个边长分别为a、b、c的正方形把它们拼成如图所示形状使H、C、B三点在一条直线上连结BF、CD过C作CL⊥DE交AB于点M交DE于点L
∵AFACABAD∠FAB∠GAD∴ΔFAB≌ΔGAD
∵ΔFAB的面积等于2
21a
ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半
∴矩形ADLM的面积2
a
f同理可证矩形MLEB的面积b
∵正方形ADEB的面积
矩形ADLM的面积矩形MLEB的面积
∴222bac即2
22cba
【证法8】利用相似三角形性质证明
如图在RtΔABC中设直角边AC、BC的长度分别为a、b斜边AB的长为c过点C作CD⊥AB垂足是D在ΔADC和ΔACB中∵∠ADC∠ACB90∠CAD∠BAC∴ΔADC∽ΔACB
AD∶ACAC∶AB
即ABADAC2
同理可证ΔCDB∽ΔACB从而有ABBDBC2
∴222ABABDBADBCAC即222cba
【证法9】杨作玫证明
做两个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、bba斜边长为c再做一个边长为c的正方形把它们拼成如图所示的多边形过A作AF⊥ACAF交GT于FAF交DT于R过B作BP⊥AF垂足为P过D作DE与CB的延长线垂直垂足为EDE交AF于H
∵∠BAD90∠PAC90∴∠DAH∠BAC
又∵∠DHA90∠BCA90
ADABc∴RtΔDHA≌RtΔBCA∴DHBCaAHACb由作法可知PBCA是一个矩形所以RtΔAPB≌RtΔBCA即PBCAbAPa从而PHb—a
∵RtΔDGT≌RtΔBCARtΔDHA≌RtΔBCA∴RtΔDGT≌RtΔDHA
f又∵∠DGT90∠DHF90
∠GDH∠GDT∠TDH∠HDA∠TDH90∴DGFH是一个边长为a的正方形
∴GFFHaTF⊥AFTFGT—GFb—a
∴TFPB是一个直角梯形上底TFb—a下底BPb高FPab—a用数字表示面积的编号如图则以c为边长的正方形的面积为
543212SSSSScr