scossi

z3r2si
coscossi
zr3si
cos13si
cos
r

4tzsecxyxuvyvwzwu求ttt。uvw
解：twusecuv2w
twsecuv2ww2uv2secuv2wta
uv2w
u
ft2w2u2vsecuv2wta
uv2w
v
tusecuv2wu2v2wsecuv2wta
uv2w
w
2求下列函数的一阶偏导数（其中f为可微函数）：
1
z
f

xy
xy

；
解：zx

yf1
1y
f2
zy
xf1
xy2
f2
2zfx2y2exy；
解：
zx

2xf1

yexy
f2
zy

2yf1

xexy
f2
3ufx2y2z2；
解：u2xfu2yfu2zf
x
y
z
4ufxxyxyz；
解：
uxf1yf2yzf3
uyxf2xzf3
uzxyf3
3设zv2uet2dtusi
xvex求dz。
2u
dx
解：dzev2u2dv2ue4u2d2u
dx
dx
dx
ee2xsi
x22e2xcosxe4si
2x2cosx
4设zxyxFu，而uyFu为可微函数，证明：x
xzyzzxy。xy
证明：zyFu1x2yxFuyFuyFu
x
x
fzxFuyxzyz2xyxFuxyz
xy
5
设z
f
yx2
y2
，其中
f
u
为可导函数，证明：
1z1zz。xxyyy2
证明：令u

x2

y2
zx

zu

ux


2xyfuf2u
zzu1yfu

2y
yuyfuf2u
1z1z1zxxyyyfuy2
6
设z

fx2

y2，其中
f
有二阶导数，求
2zx2

2zxy

2zy2
。
解：zx

f

2
x
2zx2

4x2f
2f
2z
xy
4xyf
2zy2
4y2f
2f

7设f有二阶连续偏导数，求下列函数的二阶偏导数：
1zfx2y2exy；
解：
2zx2

2
f1

y2exy
f2

4x2
f11
4xyexy
f12

y2e2xy
f22
2z
xy
1xy
exyf24xyf11
2x22y2
exyf12xye2xyf22
2zy2

2
f1

x2exy
f2

4y2
f11
4xyexy
f12

x2e2xy
f22
2zfsi
xcosyexy。
解：
zx

f1cosx
f3

e
x
y

zy

f2
si

y
f3exy
f2zx2

si

xf1
exy
f3

cos2
xf11

2exy
cos
xf13

e2xy
f33
2zxy

exy
f3

cos
xsi

yf12

exy
cos
xf13
exy
si

yf32
e2xy
f33
2zy2

cos
yf2
exy
f3
si
2
yf22
2exy
si

yf23
e2xy
f33
习题85
1求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：
1si
yexxy20求dy；dx
解：Fxysi
yexxy2Fxxyexy2Fyxycosy2xy
dyFxxyexy2dxFyxycosy2xy
2l

x2

y2

arcta

yx
，求
d2yd2x
；
解：Fxyl
x2y2arcta
yx
Fxx
y

x2
x
y2
1
1

yx
2


yx2


xx2
yy2

Fyx
y

x2
y
y2
1
1

yx
2

1x


yx2
xy2


dydx


FxxFyx
yy

xx

yy

d2ydx2

1
dyxdx
yxxy2
11
dydx

2x2y2
xy3
3zexyz求zz；xy
f解：FxyzexyzzFxxyzyzexyzFyxyzxzexyz
Fzx
y
z

xyexyz
1
dzdx


yzexyzxyexyz
1

dzdy

r