2r2r2r2x2y2z22r22
x2y2z2
r3

r3
r
习题83
1求下列函数在指定点的全微分：
1zl
1x2y2P012；
解：dzzdxzdy2xdx2ydy
12x
y
1x2y2
1x2y2
f121dx14dy1dx2dy
114
114
33
2zxsi
xyexy
P0

4

4

。
解：dzsi
xyxcosxyexydxxcosxyexydy


dz111e2dxe2dy44
2求下列函数的全微分：
1zcosxysi
xy；
解：dzsi
xyycosxydxsi
xyxcosxydy
2zarcta
xy；xy
解：
dz

1

1x
y
2


x

y1x

y2

x

y1dx

xy
1

1x
y2
x

yx

y2

x

y1dy

yx2y2
dx

x2
x
y2
dy
xy
3ul
x2y2z2；
解
：
du

x2

y2

1
z22

1
x2

y2

z
2


12

2xdx

x2

y2

1
z22

1
x2

y2

z
2


12
2
2
2ydy
x2

y2

1
z22

1x22

y2

z
2


12
2zdz

xdxydyzdzx2y2z2
4uxyz。
解：duyzxyz1dxzxyzl
xdyyxyzl
xdz
3证明函数
ff
x
y

x2

y2
si

x2
1
y2

0
x2y20x2y20
在点00处可微，但偏导数在00处不连续。
证明：
fx00

lim
x0
f
0x0x
f
00

lim
x2
si

1x2
x0
x
0
0
fy00

lim
y0
f
00yy
f
00

lim
y2
si

1y2
y0
y
0
0
当x
y

00
时，
fxx
y

2xsi

x2
1
y2

2xx2y2
cos
x2
1
y2
当点Pxy沿直线yx趋于00时，
lim
xx00
fxx
y

lim
x0

2
x
si

12x2

1cosx
12x2

不存在，所以
fxxy在00不连续；同理可证fyxy在00不连续。
ffxxfyyfxyf00x2y2si

1
x2y2
x2y2
x2y2x2y2

x2
y2
si

x2
1y2

0
0
故fxy在00可微，且df000
4利用全微分计算下列函数的近似值：
110231973；
解：
令fx3y3，x01，y02，x002，y003，
10231973fxxyyf12fx12xfy12y
fx

05x3

y
3


12
3x，fy

05x3

y
3


12
3y，1023

1973
295
f2si
29ta
46。
解：令f
x
y

si

x
ta

y
x0

6

y0

4

x

180
y180
fx

ta

ycos
x
fy

1cos2
y
si

x
si
29
ta
46
0502
习题84
1求下列函数的导数或偏导数：
1zl
xy2x1ty1t求dz；dt
解：
dzdt

zx
dxdt

zy
dydt

x
1y2
dxdt

2yxy2
dydt

12
1
1t21t
112
1
tt2t

11t1
t
22
11t
1
t
t

2uyy1x2求du；
x
dx
解：du

1
1
1
x2


12
2x

1x2
1x2
1
1x2
1
dxx2
1x2
x2
x21x2
3zx2yxy2xrcosyrsi
求zz；r
解：zr2cos2rsi
rcosr2si
2r3si
cor