xzexyzxyexyz1
4zezxy，求2z。xy
解：FxyzzezxyFxxyzyFyxyzxFzxyz1ez
zx
FxxyFzxy
y1ez
y1ez
zy
FyxyFzxy
x1ez

2zxy

1
ezyez1ez2

zy

1ez2xyez1ez3
2设xxyzyyxzzzxy都是由方程Fxyz0所确定的具有连
续偏导数的函数，证明
xyz1。yzx
证明：xyzFyFzFx1
yzx
FxFyFz
3
设函数z

zx
y
由方程
F

x


zyy
zx


0
所确定，证明
xzyzzxy。xy
证明：zFxF11x2F2zFy1y2F1F2
xFz
F1

1y

F2

1x
y
Fz
F1

1y

F2

1x
xzyzzxyxy
4求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
1
zx2y2

x2

2y2

3z2

20
求dydz；dxdx
f解：Fxyzx2y2z0Gxyzx22y23z2200
2x2yyxzx02x4yyx6zzx0

dydx

x6z2y3z
11

dzdx

x3z1
2
x2y2uv0

xy
2

u2

v2

0
求uuvv；xyxy
解：
2x

y
2

uxvuvx02uux2vvx
0

22
yuyvuvxy2uuy
y02vvy

0

u4xvuy2u2yvxyuv4xvvy2v2yuxyvx2u22v2yu2v2x2u22v2yu2v2
3
ufuxvy
v

gu

xv2
y
其中fg有一阶连续偏导数，求uv。xx
解：
uxvx

f1g1

uxux
xu1
f2vx0g2y2vvx

0

uuf12yvg21f2g1v
g1xf1uf11
xxf112yvg21f2g1xxf112yvg21f2g1
5设yfxt，Fxyt0，其中fF有连续一阶偏导数，证明
dyfxFtftFx。dxFtftFy
证明：dydx

fx
ft

FxFt
FyFt
dydydxdx

fxFtftFxFtftFy
习题86
1求函数zl
xy在点12处沿从点12到点223的方向导数。
解：cos
11cos132
313
32

fx

x
1
y

fy

x
1
y

f
fx12

13
fy

13
fl12
16
3
2求下列函数在指定点沿指定方向l的方向导数：
1zxarcta
yP11l21；x
解：
zx

arcta

yx
x
1

yx
2


y
1x2


arcta

yx

xyx2y2

zy

x2x2y2
cos

2cos5
15
zlpzx11coszy11cos
55

2

12

2uexcosyzP010l212；
解：uxcosyzexuyexsi
yzzuzexsi
yzy
cos

2cos3

1cos3


23
ul

p

23
3ul
r其中rx2y2z2P3412l362。
解：uxcosyzexuyexsi
yzzuzexsi
yzy
cos


23
cos


13

cos



23
ul

p

23
3求下列函数在指定点的梯度：
1fxyl
x2xyy2，P11；
解：
fx

x2
1xy
y2
2x
y
fy

x2
2yxxyy2
grad
f
11
2fxyzx22y23z2xy3x2y6zp111。
解：fx2xy3fy4yx2fz6zr