x
x
4zxyyx；
解：zxyyxxyyxxy1yxyxl
y，
xx
x
zxyl
xyxxyxyx1xyyx1yl
xxy
5fuvl
ul
v；
解：f1f11uul
vvul
vv
6fxyyet2dt；x
解：fex2xex2fey2yey2
x
x
y
y
7uxyz
解：uyzxyz1uxyzl
xzyz1uxyzl
xyzl
y
x
y
z
8usi
x12x2
x
。
f解：
ux1
cosx1
2x2






x


ux2

2cosx1
2x2

x

ux

cosx12x2

x

2求下列函数在指定点处的一阶偏导数：
1zxy1arcsi

x

点01；
y
解：z1y111z101
x
1x2xyx01
y
z0arcsi
y
xy11xz0
y
1x
2yy
y01
y
2zx2eyx1arcta
y点10。x
解：
zx

ey
2x

arcta

yx

x
11
1yx
2


yx2


zx
10
2002
zy

x2ey
x
11
1

yx
2

1x


zy
10
101
3

求曲线
z

x2
4
y2
y4
在点245处的切线对于x轴的倾斜角。
解：
zx24

x2
24
1ta

1

4

4
设
f
xy


xyx2y20
x2y2
证明fxy在点00处连续且偏导数
0
x2y20
存在。
f解：连续性：当x2y20时
xyxyx
x2y2
x2y2
limfxy0f00fxy在（0，0）处连续xy00
fx00

lim
x0
f
0x0x
f
00

lim00x0x
0
f
y
0
0

lim
y0
f
00yy
f00
lim00y0y
0
5求下列函数所有的二阶偏导数：
1fxyxy；
解：fx

y

x
y
1

2x
f
2

yy1xy22fxy
xy1yxy1l
xfy
xyl
x
2fxyl
x2y2
2fxyarcta
y；x
解：
fx

1
1

yx
2

yx2

yx2y2

fy

1
1

yx
2

1x

x2
x
y2

2fx2

2xyx2y2
2

2fy2


2xyx2y2
2

2fxy
2fyx

x2x2
y22x2y22

y2x2x2y22
3zxl
t
解：
zx

l
t

xl
t1
zt

xl
tl
x1t
2zx2

l
tl
t
1xl
t2
2z1xl
t1l
tl
x1xl
t11xl
t11l
tl
x
xtt
t
t
2zl
xxl
tl
x1l
x1t2xl
tl
xxl
tl
x1
t2
t2
t2
6求下列函数指定的高阶偏导数：
f1zxl
xy
x
3z2y

3z；xy2
zx

l
xy

x
1xy

y

l
xy1
2zx2

1xy

y

1x

解：
3zx2y

0
2zxy

1xy

x

1y
3z1xy2y2
2
uxaybzc
6u。xy2z3
解：uaxa1ybzc
6uaxa1bb1yb2cc1c2zc3
x
xy2z3
2uaxa1byzb1cxy
3uxy2
axa1bb1yb2zc
7证明r
x2

y2

z2
满足方程
2rx2

2ry2

2rz2

2r
。
解：
r

1
x2

y2

z
2


12
2x

x

x2
x2y2z2
2rx2

x2
1y2
z2
x1x22

y2

z
2


32
2x

1r
y2z2r2

y2z2r3
由对称性，有：2ry2

x2z2r3
2rz2

x2y2r3
r