精品文档
求分段函数的导数
例
求函数
f
x


x
2

si

1x

x

0
的导数
0x0
分析：当x0时因为f0存在，所以应当用导数定义求f0，当x0时，fx的
关系式是初等函数x2si
1，可以按各种求导法同求它的导数．x
解：当x0时，f0lim
fxf0lim
x2
si

1x

lim
xsi

1

0
x0
x
xx0
x0
x
当
x0
时
，
fxx2s
1x2sx
1x2ix
1x
2xs
i
1x

x2
1
s
x
2
c
12ix
sx
1ci1oxx

i
o
说明：如果一个函数
gx
在点
x0
连续，则有
gx0


lim
xx0
gx
，但如果我们不能断定
f
x的导数
f
x是否在点
x0

0连续，不能认为
f
0

lim
x0
f
x．
指出函数的复合关系
例指出下列函数的复合关系．
1．yabx
m；2．yl
3ex2；
3．
y

3log
2
x2

2x

3
；4．
y

si
x

1x

。
分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的
关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复
合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．
解：函数的复合关系分别是
1．yumuabx
；
2．yl
uu3vvex2；
3．y3uulog2vvx22x3；
4．yu3usi
vvx1x
说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．
精品文档
f精品文档
求函数的导数
例求下列函数的导数．
1．y2x3x14；2．y1；
x
12x2
3．ysi
22x；4．yx1x2。3
分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数
经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个
整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，
而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
解：1．解法一：设u2x3x1yu4，则x
yx

yu
ux

4u3
6x2
1
1x2


42x3

x
136x2x

1x2
1
解法二：
y


2x3

x

1
4



4
2x3

x

1
3
r