第六章
习题61
1利用定积分定义计算由直线yx1直线xa，xb（ab）及x轴所围成的图形的面积
解因yx21在ab上连续所以x21在ab上可积从而可特殊地将ab
等分并取
i

a

ba

iΔxi

b


a

f
i

a

b
a

i2
1
于是

i1
fiΔxi


abai2
i1


1ba


b

a

i1
a2

b

a2
i2
2

2ab

a
i

1
1

ba
a2ba211
12
12baa1
1
1

26

2


故面积
S
bx21dxlim

a

i1
f
iΔxi

b

aa2

1b3

a2

ab

a
1
1b3a3ba3
2利用定积分的几何意义求定积分：
1
12xdx0
2aa2x2dx（a＞0）0
解1根据定积分的几何意义知12xdx表示由直线y2xx0x1及x轴所围的三角形的0
面积而此三角形面积为1所以12xdx10
2根据定积分的几何意义知aa2x2dx表示由曲线ya2x2x0xa及x0
轴所围成的1圆的面积而此1圆面积为1πa2所以aa2x2dx1πa2
4
4
4
0
4
3根据定积分的性质，比较积分值的大小：
1
1x2dx与1x3dx；2
1exdx与
1
1xdx
0
0
0
0
解1∵当x01时x2x3x21x0即x2x3
又x2x3所以1x2dx1x3dx
0
0
2令fxex1xfxex1因0x1所以fx0
从而fxf00说明ex1x又ex1x所以1exdx11xdx
0
0
4估计下列各积分值的范围：
1
f14x21dx；1
3
21xarcta
xdx3
3aex2dx（a＞0；a
40ex2xdx2
解1在区间14上函数fxx21是增函数故在14上的最大值Mf417最
小值mf12所以2414x21dx17411
即
64x21dx511
2令
fx
xarcta
x则
f

x

arcta

x

1
xx2
当x
13
3时fx0从
而fx在1
3上是增函数从而fx在1
3上的最大值Mf
π3最小
3
3
3
值mf1π所以363
ππ
963
313
31
x
arcta

xdx

3
π
3
312π33
即
π
9
313
x
arcta

xdx

2π
3
3令fxex2则fx2xex2令fx0得驻点x0又f01，
fafaea2a0时ea21故fx在aa上的最大值M1最小值
mea2所以
2aea2aex2dx2aa
4令fxex2x则fx2x1ex2x令fx0得驻点x1又f012
f
1

e
14

f
2

e2
从而
f
x
在02上的最大值
M

e2最小值m

e
14
所以
2
2e
14

2ex2xdxe2
0
而
e0x2xdx2ex2xdx
2
0
2
f故
2e2
0ex2xdx

2e
14

2
1求下列导数：
1dx21t2dtdx0
习题62
2dxte53tdt；dxl
2
3

cosxsi
x
cost
2
dt


4
d2d2x
si
tdt
xt
x＞0
解
dx21dx0
1t2dt
1x4x22x1x4
d
2dx
xt5e3r