．2
dy
1l
xdx。x2
4．y
2。
5．
x
2x3ex2。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．（B）2．（B）3．（D）4．（C）5．（C）
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
订
1．求极限
lim
x0
ta
xx3
x
。
解：
lim
x0
ta
xx3
x

lim
x0
sec2x3x2
1…………………2
分
线
lim2sec2xta
x………………4分
x0
6x
1limsec2xlimta
x…………6分
3x0
x0x
1………………………………7分3
2．设函数
x

a
si

x
fx2

x0x0在x0处连续，求a与b的值。
xsi

1

b

x0
x
解：f02
1分
limfxlimfxlimx12故a1
x0
x0
x0asi
xa
2
limfxlimxsi
1bb2故b2
x0
x0
x
3．计算定积分1dx
。
01x23
4分7分
解：令xta
u，则1x2sec2u，dxsec2udu…………………2分
1
dx

4
du
…………………4分
01x230secu
第6页共9页
f
4cosudu…………………5分0

si
u
40
…………………6
分
装
2…………………7分2
4．设yyx是由方程ysi
xcosxy0所确定的隐函数，求dy。dx
解：方程两边关于x求导，得
订
ysi
xycosxxysi
xy0…………………2分
ysi
xycosx1ysi
xy0…………………4分
ysi
xsi
xyycosxsi
xy…………………6分
线
所以，dyycosxsi
xy…………………7分
dxsi
xysi
x
5．设函数
y

yx
由参数方程
x

y

l
tarcta

t
所确定，求d2y。dx2
dy
1
解：y
dtdx
1t21
t1t2
…………………3分
dtt
y
dydt
dx

t1
t2



1t21
t2
2t22
l
t
1

t1t21t22
…………………7
分
dt
t
6．计算定积分si
3xsi
5xdx。0
解：si
3xsi
5xdxsi
3xcos2xdx…………………1分
0
0


3
2si
2xcosxdx
0

si

32
xcos
xdx
…………………3
分
2


3
2si
2xdsi
x
0

3
si
2
xd
si

x
…………………5
分
2
第7页共9页
f

2
si

52
5
x

20


2
si

52
5
x

2
…………………6
分
4…………………7分5
装
7．求不定积分

l
xx
1dx1
。
解：令x1t2，则xt21，dx2tdt，…………………2分
订

l
xx
1dx1

4
l

tdt
…………………4
分
4tl
t4tC…………………6分
2x1l
x14x1C…………………7分
四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
线
1．证明不等式：当x0时，arcta
x21。
l
1x2
证明：设fx21l
1x2arcta
x…………………2分
则fx
211x

1
2x
2

21xr