N

（i）求数列a2
c2
1的通项公式；
2
（ii）求aici
Ni1
20（本小题满分14分）
设函数fxexcosxgx为fx的导函数
（Ⅰ）求fx的单调区间；
（Ⅱ）当
x

4
2

时，证明
f
x

g

x

2

x…0
；
（Ⅲ）设x
为函数ux

f

x
1在区间

2m

4
2m
2

内的零点，其中



N
，
证明
2


2

x


si

e2
x0cos
x0

f2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
理科数学答案
一选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分40分
1D
2C
3B
4B
5D
6A
7A
8C
二填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分30分
913
1028
11π4
1234
1343
141
三解答题
15本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦
公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识考查运算求解能力，满分13分
（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理bc，得bsi
Ccsi
B，又由si
Bsi
C
3csi
B4asi
C，得3bsi
C4asi
C，即3b4a又因为bc2a，得到
b

43
a，c

2a由余弦定理可得cosB3

a2
c22
b2

a2
4a216a2992a2a
14

3
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得si
B1cos2B15，从而4
si
2B2si
BcosB15，cos2Bcos2Bsi
2B7，故
8
8
si


2B

6


si

2Bcos
6

cos
2Bsi

6


15371357，
8282
16
16本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的
概率计算公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分13分
（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的
概率均为
23
，故
X

B

3
23
，从而PX

k
C3k

2k3
13k3

k0123
所以，随机变量X的分布列为
fX
0
1
2
3
P
1
2
4
8
27
9
9
27
随机变量X的数学期望EX3223
（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中
7：30
之前到校的天数为Y
，则Y

B

3
23

，
且MX3Y1X2Y0由题意知事件X3Y1与X2Y0
互斥，且事件X3与Y1，事件X2与Y0均相互独立，从而由（Ⅰ）
知
PMPX3Y1X2r