第19题图）
C
（第19题图）
19．（Ⅰ）取AD中点E，连接EN、EM．
由于ENAP，EMAB，APABA，EMENE，从而平面PAB平面EMN．
又MN平面EMN，从而MN平面PAB．（Ⅱ）法一：连接PM．由于PEAD，MEAD，则PEM是二面角PADC的平面角，PEM60，PEM是边长为3的正三角形，且AD平面PEM．
2
2019高三教学测试数学试题卷第8页（共6页）
f又AD平面PAD，则平面PEM平面PAD．
过点M作MFPE于F，则MF33，MF平面PAD，MNF是直线MN与平
4面PAD所成角的平面角．
由于NF分别是PDPE的中点，则NF1DE3，从而ta
MNFMF3，即
2
4
NF
直线MN与平面PAD所成角的正切值为3
法二：连接PM．由于PEAD，MEAD，则PEM是二面角PADC的平面角，
PEM60，即PEM是边长为3的正三角形，且AD平面PEM．2
又AD平面ABCD，则平面PEM平面
zP
ABCD．A
过点P作POME于O，则PO平面ABCD．
过点O作OQAD，交CD于点Q，则B
N
ED
O
Qy
OQOM．以点O为原点，OMOQOP分别为xyz轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则P0033，
4
Mx
C
（第19题图）
A330，D330，M300，N3333，MN9333．
42
42
4
848
848
设平面
PAD
的法向量为




x
y
z
，则



PA

0
，即

34
x

3y33z0
2
4
，解得

PD0
34
x

3y33z0
2
4
y0
，令z1，则
301．
x3z

MN
设直线MN与平面PAD所成角的平面角为，则si


3，ta
3，即

MN10
直线MN与平面PAD所成角的正切值为3
2019高三教学测试数学试题卷第9页（共6页）
f20．（本题满分15分）已知数列a
的前
项和为S
，且满足2S
3a
1（
N）．
（Ⅰ）求数列a
的通项公式；
（Ⅱ）设b


log3a
2a

，T

为数列b
的前

项和，求证：T


154
．
20．（Ⅰ）当
1时a11．
当


2时，
2S
3a
12S
13a
1

1，两式相减得：a


3a
1
．
故a
是以3为公比的等比数列，且a11，
所以a
3
1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
b


13
1
，
由错位相减法
T


b1

b2
b


230

331


13
1
（1）
13
T


231

332


3
1


13

（2）
两式相减得：
23T


213

132
13
1



13


52

2
523

，
求得：T


154

2
543
1
．
所以T


154
．
21．（本题满分
15
分）已知椭圆C
x2a2

y2b2
1（ab0）的焦距为2
3，且过点A20．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点B01，设P为椭圆C上位于第三象限内一动点，直线PA与y轴交于点
M，直线PB与x轴交于点N，求r