果得到
p9190001x
0x100100x1600
75
x1600
f30x
0x100
2Pp60x31x001x2100x1600
15x
x1600
3P3110000011000221000元
习题121观察一般项x
如下的数列x
的变化趋势写出它们的极限
1
x
12
解当
时
x
12
0
lim
12
0
2
x
1
1
解当
时
x
1
1
0
lim1
10
3
x
2
1
2
解当
时
x
2
1
2
2
lim2
1
2
2
4
x
11
解当
时
x
1
1
1
2
1
0
lim
11
1
5x
1
解当
时x
1
没有极限
2
设数列x
的一般项
x
c
os
2
问
lim
x
求出N
使当
N时
x
与其
极限之差的绝对值小于正数当0001时求出数N
解
lim
x
0
x
0
c
os
2
1
0
要使x
0
只要1
也就是
1
取
fN1则
N有x
0
当0001时N110003根据数列极限的定义证明
1
lim
1
2
0
分析
要使
1
2
0
1
2
只须
21
即
1
证明
因为0
N
1
当
N时
有
1
2
0
所以
lim
1
2
0
2lim3
13
2
12
分析
要使
3
12
1
32
122
1
14
只须14
即
14
证明
因为0
N41
当
N时
有3
132
12
所以lim3
13
2
12
3lim
2a21
分析要使
2a21
2a2
a2
a2
2a2
只须
a2
证明因为0Na2当
N时有
2a21所以
lim
2a21
4
lim099
9个91
分析
要使099
91
110
1
只须
110
1
即
1lg
1
证明因为0N1lg1当
N时有09991所以
lim099
9个91
f4
limu
a证明
limu
a并举例说明如果数列x
有极限但数列x
未必有极限
证明因为
limu
a所以0NN当
N时有u
a从而u
au
a
这就证明了
limu
a
数列x
有极限但数列x
未必有极限例如lim1
1但lim1
不
存在
5
设数列x
有界
又
lim
y
0
证明
lim
x
y
0
证明因为数列x
有界所以存在M使
Z有x
M
又
lim
y
0
所以0
NN
当
N时
有
y
M
从而当
N时
有
x
y
0x
y
M
y
M
M
所以
lim
x
y
0
6对于数列x
若x2k1akx2kak证明x
a
证明因为x2k1akx2kak所以0K1当2k12K11时有x2k1aK2当2k2K2时有x2ka取Nmax2K112K2只要
N就有x
a因此x
a
习题131根据函数极限的定义证明
1lim3x18
x3
分析因为3x183x93x3
所以要使3x18只须x313
f证明因为01当0x3时有3
3x18
所以lim3x18
x3
2lim5x212
x2
分析因为5x2125x105x2
所以要使5x212只须x215
证明因为01当0x2时有
5
5x212
所以lim5x212
x2
3limx244x2x2
分析因为
x244x24r
