由圆台侧面积公式演变
而来
提出问题
①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比
出柱体的体积公式？
②比较柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱体ShS为底面积，h为柱体的高；
V锥体1ShS为底面积，h为锥体的高；3
1V台体S
SSShS′S分别为上、下底面积，h为台体的高
3
f你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否
可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？
讨论结果：
①棱长为a的正方体的体积Va3a2aSh；
长方体的长、宽和高分别为abc，其体积为VabcabcSh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是Vπr2hSh，可以类比，一般的柱体的体积也是VSh，其中S是底面面积，h为柱体的高
圆锥的体积公式是V1ShS为底面面积，h为高，它是同底等高的圆柱的体积的1
3
3
棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的1即棱锥的体积V1ShS为底面面积，h为
3
3
高
由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类
似，都是底面面积乘高的13
由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆
台（棱台）的体积公式V1S′SSSh3
其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高注意：不要求推导公式，也不要求记忆
②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体
因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体当S′0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式
当S′S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作
台体体积公式的“特殊”形式柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可
以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系如图5：
图5
（三）应用示例思路1
例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC（图6），求它的表面积
图6
f活动：回顾几何体的表面积含义和求法分析：由于四面体SABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D
因为BCaSDSB2BD2a2a23a22
所以
S△SBC
12
BCSD
12
a

3a2
3a24
因此，四面体SABr