和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．x2【训练1】若直线mx＋
y＝4与⊙O：x＋y＝4没有交点，则过点Pm，
的直线与椭圆9＋
22
y24＝1的交点个数是A．至多为1B．2解析由题意知：
．C．1D．0
4222＞2，即m＋
＜2，m＋
2
x2y2∴点Pm，
在椭圆9＋4＝1的内部，故所求交点个数是2个．答案B考向二弦长及中点弦问题
x23【例2】若直线l与椭圆C：3＋y2＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为2，求△AOB面积的最大值．审题视点联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可．解设Ax1，y1，Bx2，y2．
1当AB⊥x轴时，AB＝3；
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2当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m由已知，得
m3322＝2，即m＝41＋k
k2＋1．把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得3k2＋1x2＋6kmx＋3m2－3＝0－6km3m2－1∴x1＋x2＝2，xx＝3k＋1123k2＋1
236k2m212m－112k2＋13k2＋1－m2＝∴AB＝1＋kx2－x1＝1＋k22－3k2＋13k2＋123k＋12222
3k2＋19k2＋112k2＝＝3＋43k2＋129k＋6k2＋1当k≠0时，上式＝3＋1212≤3＋＝4，12×3＋629k＋k2＋6
13当且仅当9k2＝k2，k＝±3时等号成立．即此时AB＝2；k＝0时，当AB＝3，综上所述ABmax＝2133∴当AB最大时，△AOB面积取最大值Smax＝2×ABmax×2＝2当直线斜率为k与圆锥曲线交于点Ax1，y1，Bx2，y2时，则AB＝1＋k21－x2x＝11＋k2y1－y2，而x1－x2＝x1＋x22－4x1x2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元
后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2＝22，OC的斜率为2，求椭圆的方程．解法一设Ax1，y1、Bx2，y2，
代入椭圆方程并作差得ax1＋x2x1－x2＋by1＋y2y1－y2＝0而y1－y2y1＋y22＝－1，＝koc＝2，x1－x2x1＋x2
代入上式可得b＝2a再由AB＝1＋k2x2－x1＝2x2－x1＝22，其中x1、x2是方程a＋bx2－2bx＋b－1＝0的两根，
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b－12b故a＋b2－4＝4，a＋b12将b＝2a代入得a＝3，∴b＝3x22y2∴所求椭圆的方程是3＋3＝1法二
22ax＋byr