析；（Ⅱ）分别租用【解析】（Ⅰ）由已知，
满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示
9页
f22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱为线段上的动点，其中，更靠近，且
中，
，
分别为棱
与
的中点，
，
（1）证明：
平面
；
（2）若
与平面
所成角的正弦值为
，求异面直线
与
所成角的余弦值
【答案】（1）见解析（2）
10页
f（2）解：取以
的中点
，
的中点
，则
，，
，
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
则
，
，
，
，
设
，
则易知是平面的一个法向量，
，
∴
，解得

∴
，
，
，，
∴
，
∴异面直线
与
所成角的余弦值为

11页
f23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有张印有“一等奖”的卡片，有“二等奖”的卡片，3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖奖元，抽中“新年快乐”无奖金
张印元，抽中“二等奖”获
（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止记表示“小张恰好抽奖次停止活动”，求的值；
（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取张卡片①②设记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；的分布列和数学期望
表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】（1）
（2）①②由题意可知可取的值为，，，，则
；
；因此的分布列为
12页
f的数学期望是
24．如图所示的几何体是由以等边三角形为
为底面的棱柱被平面的中点面．
所截而得，已知
平面
1求
的长；面与平面；相交所成锐角二面角的余弦值．
2求证：面3求平面
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）取
的中点
，连接
则
为梯形
的中位线，
13页
f又所以所以四边形
所以四点共面因为为平行四边形，面；又所以面；面，且面所以且面平面面所以
（2）由题意可知平面所以又面面，因为，所以面
设平面
的法向量为
，
由
得
所以
所以
，由所求二面角为锐二面角角，所以平面
与平面
相交所
成锐角二面角的余弦值25．如图1，四边形
．中，，，其中．，将四边形沿着
折叠，得到图2所示的三棱锥
14页
f（1）证明：平面（2）若为
平面中点，求二面角
；的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为且平面（Ⅱ）以标系为原点，以平面，且
，可得，r