经典三角形证明题选讲(含答案)
三角形辅助线做法线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验
1已知:AB4,AC2,D是BC中点,AD是整数,求AD
A
B
C
D
1证明:延长AD到E使DEAD则△ADC≌△EBD∴BEAC2
在△ABE中ABBEAEABBE,∴1022AD1024AD6
又AD是整数则AD5思路点拨:三角形中有中线,延长中线等中线。
2已知:BCDE,∠B∠E,∠C∠D,F是CD中点,求证:∠1∠2
A12
B
E
CFD2证明:连接BF和EF∵BCEDCFDF∠BCF∠EDF∴△BCF≌△EDF边角边∴BFEF∠CBF∠DEF连接BE在△BEF中BFEF,∴∠EBF∠BEF又∵∠ABC∠AED,∴∠ABE∠AEB∴ABAE在△ABF和△AEF中,ABAEBFEF∠ABF∠ABE∠EBF∠AEB∠BEF∠AEF∴△ABF≌△AEF∴∠1∠2
思路点拨:解答本题的关键是能够想到证明ABAE而AB、AE在同一个△ABE
中,可利用∠ABE∠AEB来证明同一三角形中线段等,可用等角对等边
3已知:∠1∠2,CDDE,EFAB,求证:EFAC
证明:过E点,作EGAC,交AD延长线于G则∠DEG∠DCA,∠DGE∠2又∵CDDE∴△ADC≌△GDE(AAS)∴EGAC
A12
F
CD
E
B
1
f∵EF∥AB∴∠DFE∠1
∵∠1∠2∴∠DFE∠DGE∴EFEG∴EFAC思路点拨:角平分线平行线,等腰三角形来添。
4已知:AD平分∠BAC,ACABBD,求证:∠B2∠C
证明:延长AC到E使CECD,连接ED,则∠CDE∠E
∵ABACCD∴ABACCEAE又∵∠BAD∠EAD,ADAD∴△BAD≌△EAD∴∠B∠E∵∠ACB∠E∠CDE,∴∠ACB2∠B
方法二
在AC上截取AEAB,连接ED
A
∵AD平分∠BAC∴∠EAD∠BAD
又∵AEAB,ADAD∴AED≌ABD(SAS)C
D
B
∴∠AED∠B,DEDB
∵ACABBD,ACAECE
∴CEDE∴∠C∠EDC
∵∠AED∠C∠EDC2∠C∴∠B2∠C思路点拨:线段等于线段和,理应截长或补短5已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B∠D180°,求证:AEADBE
证明:过C作CF⊥AD交AD的延长线于F在△CFA和△CEA中
∴∠CFA=∠CEA=90°又∵∠CAF=∠CAE,ACAC
∴△CFA≌△CEA,∴AE=AF=AD+DF,CECF
∵∠B+∠ADC=180°,∠FDC+∠ADC=180°
∴∠B=∠FDCE
在△CEB和△CFD中,
CECF∠CEB=∠CFD=90°∠B=∠FDCE
∴△CEB≌△CFD
∴BE=DF∴AE=AD+BE思路点拨:图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现6如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且
点E在AD上。求证:BCABDC。
证明在BC上截取BFBA连接EF∵
∠ABE∠FBEBEBE
∴ABE≌ΔFBESAS
∠EFB∠A
2
f∵AB∥CD∴∠A∠D180°又∵∠EFB∠EFC180°∴∠EFC∠D又∵∠FCE∠DCECECE∴FCE≌ΔDCEAASFCCD∴BCBFFCABCD思路点拨:线段等于线段和,理应r