2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
考试时间：2011年10月16日9：4012：10
一、（本题满分40分）如图，PQ分别是圆内接四边形ABCD的对角线ACBD的中点．若BPADPA，证明：AQBCQB．D
A
Q
PBC
二、本题满分40分）（证明：对任意整数
4，存在一个
次多项式fxx
a
1x
1a1xa0具有如下性质：（1）a0a1a
1均为正整数；（2）对任意正整数m，及任意kk2个互不相同的正整数r1r2rk，均有fmfr1fr2frk．三、（本题满分50分）设a1a2a
4是给定的正实数，a1a2a
．对任意正实数r，满足
ajaiakajr1ijk
的三元数组ijk的个数记为f
r．
证明：f
r

2．4
四、（本题满分50分）设A是一个39的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个m
1m31
9方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个
11的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．
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