2017年全国高中数学联赛A卷一试
一、填空题
1设fx是定义在R上的函数，对任意实数x有fx3fx41又当0x7
时，fxlog29x，则f100的值为__________
2若实数xy满足x22cosy1，则xcosy的取值范围是__________
3在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为x2y21，F为C的上焦点，A为C的910
右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为__________
4若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”平稳数的个数是
5正三棱锥PABC中，AB1，AP2，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为__________
6在平面直角坐标系xOy中，点集Kxyxy101在K中随机取出三个点，则这
三点中存在两点之间距离为5的概率为__________7在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点若A，ABC的面积为
33，则AMAN的最小值为__________
8设两个严格递增的正整数数列a
b
满足：a10b102017，对任意正整数
，有
a
2a
1a
，b
12b
，则a1b1的所有可能值为__________
二、解答题
9设km为实数，不等式x2kxm1对所有xab成立证明：ba22
f10设x1x2x3是非负实数，满足x1

x2

x3
1，求x1
3x2
5x3x1

x23

x3的最5
小值和最大值
11设复数
z1

z
2
满足
Re
z1


0
，Re
z2


0
，且
Re
z12


Re
z
22


2（其中
Rez
表示
复数z的实部）
（1）求Rez1z2的最小值；
（2）求z12z22z1z2的最小值
f2017年全国高中数学联赛A卷二试
一如图，在ABC中，ABAC，I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆1，以I为圆心，IB为半径作圆2，过点BI的圆3与12分别交于点PQ（不同于点B）设IP与BQ交于点R证明：BRCR
二设数列a
定义为a1
1，a
1

aa


a
a




的正整数r的个数

12求满足arr32017
f三将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等若相
邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”试求分隔边条数的最小值
四设m
均是大于1的整数，m
，a1a2a
是
个不超过m的互不相同的正整数，且a1a2a
互素证明：对任意实数x，均存在一个i1i
，使得
aix

2mm1
x
，这里
y
表示实数y到与它最近的整数的距离
f2017年全国高中数学联赛A卷一试答案
12
3
4
f567
f89
f1011
f2017年全国高中数学联赛A卷二试答案
一
f二
f三
ff四
ffr