点MAλ1AF
MBλ2BF求证λ1λ2为定值
解I设椭圆C的方程为
x2y21ab0则由题意知b1a2b2
∴
a2b225125即12∴a25255aa
∴椭圆C的方程为
x2y21…………………………………………………5分5
II方法一设ABM点的坐标分别为Ax1y1Bx2y2M0y0易知F点的坐标为20
∵MAλ1AF∴x1y1y0λ12x1y1∴x1y2λ1y101λ11λ18分
6
f全国名校高考数学专题训练圆锥曲线解答题1
将A点坐标代入到椭圆方程中得
y12λ1202151λ11λ1
22去分母整理得λ110λ155y00…………………………………………10分
2同理由MBλ2BF可得λ210λ255y0022∴λ1λ2是方程x210x55y00的两个根
∴λ1λ210
…………………………………………………………12分
方法二设ABM点的坐标分别为Ax1y1Bx2y2M0y0又易知F点的坐标为20显然直线l存在的斜率设直线l的斜率为k则直线l的方程是ykx2将直线l的方程代入到椭圆C的方程中消去y并整理得
15k2x220k2x20k250
……………………………………7分
20k220k25∴x1x2x1x215k215k2
……………………………………8分
又∵MAλ1AFMBλ2BF将各点坐标代入得λ1
x1x2λ22x12x2
∴λ1λ2
x1x22x1x22x1x2102x12x242x1x2x1x2
8安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测已知点R30点P在y轴上点Q在x轴的正半轴上点M在直线PQ上且满足2PM3MQ0RPPM0Ⅰ⑴当点P在y轴上移动时求点M的轨迹C的方程Ⅱ设Ax1y1Bx2y2为轨迹C上两点且x11y10N10求实数λ使ABλAN且AB
163
7
f全国名校高考数学专题训练圆锥曲线解答题1
解Ⅰ设点Mxy由2PM3MQ0得P0由RPPM0得3
yxQ023
y3yx0即22
y24x
又点Q在x轴的正半轴上∴x0故点M的轨迹C的方程是
y24xx0……6分
Ⅱ解法一由题意可知N为抛物线Cy24x的焦点且AB为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点当直线AB斜率不存在时得A12B12AB4分当直线AB斜率存在且不为0时设lABykx1代入y24x得
k2x22k22xk20
16不合题意………73
则ABx1x22分
2k224162242解得k32kk3
…………………10
代入原方程得3x210x30由于x11所以x13x2r