典例剖析［例1］求椭圆25xy25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标
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【解】把已知方程化成标准方程：这里a5b1所以c25126
y
2
x21，
25
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a10和2b2两个焦点分别是F10，－26、F20，26，椭圆的四个顶点是A10，－5、A20，5、B1－1，0和B21，0【点评】求椭圆的长轴、短轴长需要求a、b，求a、b一般是把椭圆方程化成标准形式在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴［例2］已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cosOFA＝
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，求椭圆的方程
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【解】∵椭圆的长轴长是6，cosOFA＝∴｜OF｜＝c，｜AF｜＝a＝3∴
c3
∴点A不是长轴的端点（是短轴的端点）
＝
23
，∴c＝2，b2＝32－22＝5
x
2
∴椭圆的方程是

y
2
＝1或
x
2

y
2
＝1
9
5
5
9
【点评】△OFA是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b、c，斜边的长为a，∠OFA的余弦值是椭圆的离心率［例3］已知点P（3，6）在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P点的坐标最多写出椭圆上几个点的坐标（P点除外）？这几个点的坐标是什么？【解】根据椭圆关于两坐标轴对称及P点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标，这几个点的坐标分别是（3，－6）（－3，－6）（－3，6）、、【点评】如果知道椭圆的两条对称轴，那么可以根据椭圆上一点的坐标，写出椭圆上另外三点的坐标
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