典型例题一
0例1椭圆的一个顶点为A2，，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．（1）当A2，为长轴端点时，a2，b1，0解：
x2y2椭圆的标准方程为：1；41
（2）当A2，为短轴端点时，b2，a4，0椭圆的标准方程为：
x2y21；416
说明：说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
典型例题二
例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
a21∵2c×2×解：c3
∴e
∴，
3c2a2
13．33
说明：说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比．二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可．
典型例题三
焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M例3已知中心在原点，为AB中点，OM的斜率为025，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为
x2y21，2a
fxy10222由x2，得1ax2ax0，22y1a
∴xM
x1x21a212，yM1xM，2a1a2
∵kOM
yM112，∴a24，xM4a
∴
x2y21为所求．4
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要说明：借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
x2y91上不同三点Ax1，y1，B4，，Cx2，y2与焦点F4，的0例4椭圆2595
距离成等差数列．（1）求证x1x28；（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．证明：（1）由椭圆方程知a5，b3，c4．证明：由圆锥曲线的统一定义知：
2
AFax1c
2

c，a
∴同理∵
AFaex15CF5
4x2．5
4x1．5
AFCF2BF，且BF
44185x15x2，555
9，5
∴
即
x1x28．

（2）因为线段AC的中点为4，1
yy2，所以它的垂直平分线方程为2
fy
y1y2x1x2x4．2y1y2
又∵点T在x轴上，设其坐标为x0，，代入上式，得0
2y12y2x042x1x2
又∵点Ax1，y1，Bx2，y2都在椭圆上，∴
∴
925x1225922y225x22592y12y2x1x2x1x2．25y12


将此式代入①，并利用x1x28的结论得
x04
3625
∴
kBT
9055．4x04
典型例题五
x2r