λ2er2
为对向量
ar
的正交分解．
举例3
（1）若
ra

11
，
rb

11
，
rc

12
，则
cr


结果：
1
ar

3
rb

22
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
B
A
re1

00
，
re2

12
B
re1

12
，
re2

57
C
re1

35
，
re2

610
D
re1

23
，
re2


12

34

（3）已知
uuuruuurADBE
分别是△ABC
的边
BC
，AC
上的中线且
uuurAD

ar
，uBuEur
rb
则
uuurBC
可用向量
rrab
表示为
结果：
2
ar

4
rb

33
uuuruuuruuuruuuruuur
（4）已知△ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，CDrABsAC，则rs的值是
结果：0
四、实数与向量的积实数与向量ar的积是一个向量，记作ar，它的长度和方向规定如下：（1）模：arar；
1
f百度文库让每个人平等地提升自我
（2）方向：当反，当0时，ar

r0
0时，，
ar
的方向与
ar
的方向相同，当


0
时，
ar
的方向与
ar
的方向相
注意：ar0
五、平面向量的数量积
1两个向量的夹角：对于非零向量
ar
r，b
uuur，作OA

ar
uuur，OB

rb
，则把
AOB

0



称
为向量
ar
，
rb
的夹角
当

0
时，
ar
，
rb
同向；当

时，
ar
，
rb
反向；当


时，
ar
，
rb
垂直
2平面向量的数量积：如果两个非零向量
ar
r，b
2，它们的夹角为

，我们把数量

ar

rb

cos
叫做
ar
与
rb
的数量积（或内积或点积），记作：
ar

rb
，即
ar

rb

ar



rb

cos

规定：零向量与任一向量的数量积是0
注：数量积是一个实数，不再是一个向量
uuur
uuur
uuur
uuuruuur
举例4（1）△ABC中，AB3，AC4，BC5，则ABBC_________
结果：9
（2）已知
ar

1
12

，
rb


0
12

，
cr

ar

rkb
，
rd

ar

rb
，cr
与
rd
的夹角为4
，则k

____
结果：1
（3）已知

ar

2
，

rb

5
，
ar

rb

3
，则

ar

rb

____
结果：23
（4）已知
rrab
是两个非零向量，且

ar

rb
ar
rb

，则
ra
与
ar
rb
的夹角为____
结果：30o
3向量
rb
在向量
ar
上的投影：

rb

cos
，它是一个实数，但不一定大于
0
举例5
已知ar3
，

rb

5
，且
ar

rb
12
，则向量
ar
在向量
rb
上的投影为______
结果：12
4
ra

rb
的几何意义：数量积
ra

rb
等于
ar
的模

ar

与
rb
在
ar
5
上的投影的积
5（向1）量ar数量br积的ar性br质0：；设两个非零向量
ar
，
rb
，其夹角为

，则：
（2）当
ar
r、b
同向时，
ra
rb

rar