PAPEEF的值最小（如图）D
P
第6页共11页
BE
GC
f在△ABF中，∠ABP120°∴AF3
∴LPAPBPC≤3
（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G则△ADG是正三角形∴∠ADP∠AGP，AGDG∵∠APD＞∠AGP∴∠APD＞∠ADP∴AD＞PA…………………………①又BDPD＞PB……………………②
CGPG＞PC……………………③①②③得ADBDCGPDPG＞PAPBPC∴ABCGDGABCGAGABAC＞PAPBPCL∵ABAC1∴L＜2
由（1）（2）可知：3≤L＜2．
2、已知：P
是边长为
1
的正方形
ABCD
内的一点，求
PA＋PB＋PC
的最小值．A
D
解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得△BEF，连接PE，
则△BPE是正三角形
∴PEPBP
∴PA＋PB＋PCPAPEEF
B
∴要使PA＋PB＋PC最小，则PA、PE、EF应该在一条直线上（如图）
E
C
此时AFPAPEEF
过点F作FG⊥AB的延长线于G
则∠GBF180°∠ABF180°150°30°
G
F
∴GF12，BG
32
∴AF
GF2AG2

12
2



2
32
1

2
3
∴PA＋PB＋PC的最小值是23
3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．
A
D
证明：将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ
则△BPQ是等腰直角三角形，
P
第7页共11页
f∴PQ2PB2×2a22a
又QCAPa
∴QP2QC222a2a29a2PC2
∴△PQC是直角三角形∴∠BQC135°∵BC2BQ2CQ22BQCQcos∠BQC
PB2PA22PBPAcos135°
4a2a22×2a×a×
2

2
解得BC522a
∴正方形的边长为522a
4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝30°，∠EBA＝
20°，求∠BED的度数．
解：在AB上取一点F，使∠BCF60°，CF交BE于G，连接EF、DG
A
∵∠ABC80°，∠ABE20°，∴∠EBC60°，又∠BCG60°
∴△BCG是正三角形∴BGBC
∵∠ACB80°，∠BCG60°∴∠FCA20°∴∠EBA∠FCA
又∵∠A∠A，ABAC∴△ABE≌ACF∴AEAF
∴∠AFE∠AEF12（180°∠A）80°
又∵∠ABC80°∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG∠BCG60°∴△EFG是等边三角形∴EFEG，∠FEG∠EGF∠EFG60°∵ACB80°，∠DCA30°∴∠BCD50°∴∠BDC180°∠BCD∠ABC180°50°80°50°∴∠BCD∠BDC∴BCBD前已证BGBC∴BDBG
F
E
DG
∠BGD∠BDG12（180°∠ABE）80°
∴∠FGD180°∠BGD∠EGF180°80°60°40°
B
C
又∠DFG180°∠AFE∠EFG180°80°60°40°
∴∠FGD∠DFG∴DFDG又EFEG，DEDE∴△EFD≌△EGD
∴∠BED∠FED12∠FEG12×60°30°
5、如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，若AC6，BC8，求线段PD的长。
解：∵∠ACD∠BCD∴A⌒DB⌒D∴ADBD
第8页共11页
f∵AB为⊙O的直径∴∠ADB90°∴△ABD是等r