PG：AB
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．
求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
证明：过点E作EK∥BD，分别交AC、AF于M、K，取EF的中点H，
连接OH、MH、EC
∵EHFH
∴OH⊥EF，∴∠PHO90°又PC⊥OC，∴∠POC90°∴P、C、H、O四点共圆∴∠HCO∠HPO又EK∥BD，∴∠HPO∠HEK∴∠HCM∠HEM∴H、C、E、M四点共圆∴∠ECM∠EHM又∠ECM∠EFA∴∠EHM∠EFA∴HM∥AC
∴EMKM∵EK∥BD
∴OBAOODEMAMKM
∴OBOD又AOCO∴四边形ABCD的对角线互相平分∴ABCD是平行四边形∴ABDC，BCAD
∵EHFH
经典题四
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
求∠APB的度数．（初二）
解：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°得△BCQ，连接PQ
则△BPQ是正三角形
∴∠BQP60°，PQPB3
P
在△PQC中，PQ4，CQAP3，PC5
∴△PQC是直角三角形
∴∠PQC90°
∴∠BQC∠BQP∠PQC60°90°150°
B
∴∠APB∠BQC150°
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．
求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）
A
证明：过点P作AD的平行线，过点A作PD的平行线，
两平行线相交于点E，连接BE
∵PE∥AD，AE∥PD
∴ADPE是平行四边形
E
∴PEAD，
又ABCD是平行四边形
∴ADBC
B
∴PEBC
又PE∥AD，AD∥BC∴PE∥BC∴BCPE是平行四边形∴∠BEP∠PCB∵ADPE是平行四边形
又∠ADP∠ABP∴∠AEP∠ABP∴A、E、B、P四点共圆∴∠BEP∠PAB∴∠PAB∠PCB
A
Q
PC
C
D
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f∴∠ADP∠AEP
3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCD＋ADBC＝ACBD．（初三）
证明：在BD上去一点E，使∠BCE∠ACD
A
∵C⌒DC⌒D∴∠CAD∠CBD
∴△BEC∽△ADC
∴BEBCADAC
∴ADBCBEAC……………………①∵∠BCE∠ACD∴∠BCE∠ACE∠ACD∠ACE即∠BCA∠ECD
EB
∵B⌒CB⌒C∴∠BAC∠BDC
△BAC∽△EDC
∴ABACDECD
∴ABCDDEAC……………………②
①②得ABCDADBCDEACBEAC（DEBE）ACBDAC
DC
4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且
AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）
证明：过点D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，连接DF、DEA
D
∴S△ADE12AEDG，S△FDC12FCDH
又
1S△ADES△FDC2S□ABCD
∴AEDGFCDH
又AECF
FB
GPH
EC
∴DGDH
∴点D在∠APC的角平分线上
∴∠DPA＝∠DPC
经典题（五）
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：3≤L＜2．
证明：（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE，
∵BPBE，∠PBE60°
A
∴△PBE是正三角形。
∴PEPB又EFPC
∴LPAPBPCPAPEEF当PA、PE、EF在一条直线上的时候，Lr