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可知,必有数列a
中的一项和数列b
中的一项相等,不妨设aibjaj21,则有;aiaj21。即从第i1天到第j天的连续ji天内,此人共下棋21盘。例六,9条直线中的每一条都把正方形分成面积比为2∶3的两个四边形。证明:这9条直线中至少有三条经过同一点。分析:因为每条直线将正方形划分为面积比为2∶3的两个四边形,易知此两四边形必为两个高度相等的梯形或长方形,由梯形的面积公式可知,面积比为2∶3时即为梯形的中位线的长度之比为2∶3,由正方形的图形特征可知:能满足条件的直线必经过图中四点中的一点,于是有九条直线过四个点,由抽屉原理可知:必有三条直线过同一点。六、构造解析几何模型,找到数与形的新的结合点。例七,设
为大于等于3的整数。证明:在平面上存在一个由
个点组成的集合,使集合中任意两点间的距离为无理数,任意三点组成一个非退化的面积为有理数的三角形。分析:因为要组成非退化的三角形,所以任意三点不共线,根据二次曲线的特征可知,任意一种二次曲线与直线相交,最多只能有两个公共点,即二次曲线上没有三点共线,于是可构造一个简单的二次曲线模型,如抛物线型。构造无穷点集:S
kkkN
2
下证此集合中的点符合
4
f题目中的条件。
22在集合S中取任意两点:aabb,



其中
2
abR。
d
ab
2
a2b2ab
2
ab
1
22由平方差公式可知:a2b2abab。当abN且ab时,必有ab为
一大于1的自然数,所以:ab1一定是一个非完全平方数,即
2
ab
2
1为无理数,
又abN,故d为无理数。
222取图象上三点:AaaBbbCcc。则:




1aa211S1bb2bacbca221cc2
,此式显然为非零有理数。
22另外也可以用面积公式,经过AaaBbb的直线方程为:abxyab0



由点到直线的距离公式得:d
abcc2abab
2
1

accb,其余同上。2ab1
七、构造极端情形,推广至一般。
例八,已知平面上有2
3
N个点,其中既无三点共线,也无四点共圆,能否通过它


们中的三点作一个圆,使其余2
个点有一半在圆内,一半在圆外?分析:考虑极端情况,当
1时,对于平面上的五个点,必定存在两个点AB,使得剩余三r
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