浅谈构造法解题在高中数学竞赛中的应用
苏传忠在数学竞赛辅导过程中，需要长期给学生进行有针对性的数学思想方法的训练。其中构造法解题的思想，就是一种值得推广的解题思想方法。通过构造，可以建立起各种数学知识之间的联系与相互转化，让学生在熟练掌握各种数学知识的前提下交互使用，融会贯通。一、构造几何模型，使代数问题几何化。代数运算虽然直接，但有时会比较抽象且运算复杂，构造合乎要求的几何图形，可以是所求解的问题变得直观明朗，从而找到一个全新的接替办法。
例一，设a为实数，证明：以4a23a2a1a2a1为边长可以构成一个三角形，且三角形的面积为定值。
分析：从题目给出的三个根式我们知道，当实数a去互为相反的两数时，只是其中两式角色互换，实质一样，故只需争对非负实数a展开讨论即可。
4a23
2a2
2
3
a2a1a2122a1cos60
a2a1a2122a1cos120
构造合乎要求的几何图形如图所示：
ADDFBCaABBECD1DAB60CBE120
F
a
a
D
1
a
a
601A30a
于是：AF2aAE
3EF
2a2
2
3
4a23
C
aB12a0
1a
E
ADaAB1FCDBa2122a1cos60a2a1BCaBE1CEa2122a1cos120a2a1
所以：以4a23a2a1a2a1为边长可以构成一个三角形，即ECF。
则：SECFSAECFSAEF
3SABDSABESBCESAEF
31a1si
60111si
1201a1si
12012a3
2
2
2
2
34
二、构造方程模型，使几何问题代数化。
例二，周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，则给出证明，若存在，请证明一共有几个？
f分析：设两直角边长为ab，斜边为c，面积s为整数。于是原题中的条件可用方程组的形式给出如下：

abc6
a2b2c2

1
ab

s
2
故原问题即为讨论方程组使得面积s为整数的解的情况。由前两式得：ab186c，于是由韦达定理可构造出以ab为根的
方程是：
x26cx186c06c241186cc212c36
若方程有解，则0即：c6
又：cab6c，
∴c3
∴
6c3
∵s1ab93c为整数，∴3c为整数且：723c92
∴3c8，
∴c83
代入方程可得：a57b57。
3
3
可r