得。
第四章解析函数的级数表示

一、数项级数z
，其中z
x
iy
1

定理

1
z

收敛的必要条件是
lim

z


0
定理



z
收敛x
与y
均收敛

1

1

1


定理z
收敛z
收敛，称为绝对收敛

1

1


z
发散，z
收敛，称为条件收敛

1

1

二、幂级数c
zz0
0
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收敛半径limc
1
c



lim



c


则R1

收敛圆zz0R
三、函数展开成泰勒级数（幂级数）
公式：1、
1

z
，z1
1z
0
2、ez1z
，z
0
3、si
zz1z31z5，z
35
cosz11z21z4，z
24
4、对数函数，反三角函数求导数
四、洛朗级数（函数在环域内展开）
第五章留数
一、孤立奇点z0（函数在z0不解析，在z0的去心邻域内解析）分类：1、可去奇点（洛朗级数中没有负幂项）判定（1）洛朗级数，（2）limfz存在
zz0
2、极点（洛朗级数中有有限负幂项）
判定（1）洛朗级数，（2）limfz
zz0
极点阶数判定：
（1）洛朗级数
（2）
f
z

z
1z0m
z，z在
z0
解析，z0

0
，则
z0
是
f
z
的m阶极点。
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（3）零点与极点关系
（4）
f
z

PzQz
，
z0
是分子的


阶零点，是分母的
m
阶零点，
m
时，z0是函数的m
阶极点，否则，是可去奇点。3、本性奇点（洛朗级数中有无限负幂项）
判定（1）洛朗级数，（2）limfz不存在，也不是无穷。
zz0
二、m阶零点
法1fkz00k01m1fmz00法2函数在z0展开成幂级数
三、留数
Re
s
f
z
z0

，c1c1
是洛朗级数中
z
1z0
系数。
留数计算：
可去奇点处留数为零
本性奇点：通过洛朗级数求解
m
阶极点：Re
s
f
z
z0

1m1
limz
zz0

z0m
f
zm1
一阶极点
Re
s
f
z
z0


lim
zz0
z

z0

f
z
或
Re
s
f
z
z0


PzQz
zz0
，
z0
是分母
1
阶零点，不是分子零点
注：用洛朗级数求留数，不需判定奇点类型。

留数定理：Cfzdz2iResfzzk，条件；fz在C内除有限个孤k1立奇点外处处解析。
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函数在

留数：
Re
s
f
z



Re
s
1z2
f10z
定理函数在扩充复平面上各点留数和为零。
四、留数在定积分中的应用
1、形如
2
0
Rcos
si
d
的积分

2、形如Rxdx的积分
3、

R
xeiax
dx

a

0
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