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得。
第四章解析函数的级数表示

一、数项级数z
,其中z
x
iy
1

定理

1
z

收敛的必要条件是
lim

z


0
定理



z
收敛x
与y
均收敛

1

1

1


定理z
收敛z
收敛,称为绝对收敛

1

1


z
发散,z
收敛,称为条件收敛

1

1

二、幂级数c
zz0
0
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收敛半径limc
1
c



lim



c


则R1

收敛圆zz0R
三、函数展开成泰勒级数(幂级数)
公式:1、
1

z
,z1
1z
0
2、ez1z
,z
0
3、si
zz1z31z5,z
35
cosz11z21z4,z
24
4、对数函数,反三角函数求导数
四、洛朗级数(函数在环域内展开)
第五章留数
一、孤立奇点z0(函数在z0不解析,在z0的去心邻域内解析)分类:1、可去奇点(洛朗级数中没有负幂项)判定(1)洛朗级数,(2)limfz存在
zz0
2、极点(洛朗级数中有有限负幂项)
判定(1)洛朗级数,(2)limfz
zz0
极点阶数判定:
(1)洛朗级数
(2)
f
z

z
1z0m
z,z在
z0
解析,z0

0
,则
z0

f
z
的m阶极点。
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(3)零点与极点关系
(4)
f
z

PzQz

z0
是分子的


阶零点,是分母的
m
阶零点,
m
时,z0是函数的m
阶极点,否则,是可去奇点。3、本性奇点(洛朗级数中有无限负幂项)
判定(1)洛朗级数,(2)limfz不存在,也不是无穷。
zz0
二、m阶零点
法1fkz00k01m1fmz00法2函数在z0展开成幂级数
三、留数
Re
s
f
z
z0

,c1c1
是洛朗级数中
z
1z0
系数。
留数计算:
可去奇点处留数为零
本性奇点:通过洛朗级数求解
m
阶极点:Re
s
f
z
z0

1m1
limz
zz0

z0m
f
zm1
一阶极点
Re
s
f
z
z0


lim
zz0
z

z0

f
z

Re
s
f
z
z0


PzQz
zz0

z0
是分母
1
阶零点,不是分子零点
注:用洛朗级数求留数,不需判定奇点类型。

留数定理:Cfzdz2iResfzzk,条件;fz在C内除有限个孤k1立奇点外处处解析。
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函数在

留数:
Re
s
f
z



Re
s
1z2
f10z
定理函数在扩充复平面上各点留数和为零。
四、留数在定积分中的应用
1、形如
2
0
Rcos
si
d
的积分

2、形如Rxdx的积分
3、

R
xeiax
dx

a

0
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