4、三角函数
欧拉公式eicosisi

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或
coseieisi
eiei
2
2i
定义：coszeizeizsi
zeizeiz
2
2i
ta
zsi
zcoszcotzcoszsi
z
secz1coszcscz1si
z
性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样
各种三角公式、求导公式照搬注：si
zcosz的有界性保护成立。
第三章复变函数的积分
一、复积分cfzdzcuvidxyicudxvdyicvdxudycfzdz（c的正向为逆时针方向）
计算方法：（1）第二类曲线积分计算（2）化为普通定积分
czztxtiyttab
b
cfzdzauxtytivxtytxtiytdt
重要结果：
1
2i
1
zz0r
z

z0

dz


0
1
（
为任意整数）
二、柯西积分定理
定理1（柯西积分定理）设fz在单连通区域D内解析，C为D
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内任意一条简单闭曲线，则Cfzdz0。
注：条件变为fz在单连通区域D内解析，在D的边界C上连续，
结论成立，即Cfzdz0。
定理2设fz在单连通区域D内解析，则积分与路径无关。
记积分为zfzdz，或zfd
z0
z0
原函数定义
结论：Fz

z
z0
f
d
是
f
z的原函数。
z1z0
f
zdz

Fz1

Fz0

（条件：fz是解析函数）
定理3（闭路变形原理）（柯西积分定理推广到多连通区域）
C1C2是两条简单闭曲线，C2在C1内部，fz在C1C2所围区域D
内解析，在C1C2上连续，则
fzdzfzdz
C1
C2
注：定理3说明：区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲
线在区域内的连续变动而改变它的值。
三、柯西积分公式
定理1（柯西积分公式）fz在简单闭曲线C上连续，C的内部
解析（即单连通区域D内解析），z0是C的内部一点，则
C
fzzz0
dz

2
i
f
z0
注：（1）D为多连通区域时，公式仍成立。
（2）提供了计算积分的一种方法。
推论1（平均值公式）设fz在zz0R内解析，在zz0R上连续，则
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f
z0

12
20
fz0
Reeid
定理2（最大模原理）设fz在区域D内解析，又fz不是常数，
则在D内fz没有最大值。
推论1区域D内的解析函数，若其模在D内一点达到最大值，
则此函数被常数。（定理2的逆否命题）
四、解析函数的高阶导数
定理1（解析函数的高阶导数）设fz在简单闭曲线C所围的单
连通区域D内解析，在C上连续，则fz的各阶导数均在D内解析，
且对D内z有
f
z
2i
C

fz
1
d
，或
C

fz
1
d

2i

f

z
注：由柯西积分公式
C
f
dz

2if
z
求导即r