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第一章复数与复变函数
一、复数几种表示
（1）代数表示zxyi
（2）几何表示：用复平面上点表示
（复数z、点z、向量z视为同一概念）（3）三角式：zrcosisi

（4）指数式：zrei
辐角Argzargz2k
zx2y2
arctaa
rcyta
xy
x0x0y

0
arg
z

arc
ta

xy



x

0
y

0

x2
x0y0
2x0y0
xzzyzz
2
2i
二、乘幂与方根
（1）乘幂：zrei，z
r
ei

（2）方根：


z


2kargzi
ze

k012
1
第二章解析函数一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数
求导法则与一元实变函数类似函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导
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注：（1）点解析点可导，点可导推不出点解析
（2）区域内解析与可导等价
二、定理1wfzuiv在z0可导uv在z0可微，满足CR方程定理2wfzuiv在区域D内解析（可导）
uv在区域D内可微，满足CR方程
讨论1uv在区域D内4个偏导数存在且连续，满足CR方程
wfzuiv在区域D内解析（可导）
三、解析函数和调和函数的关系
1、定义1调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函
数。
定义2设xyxy是区域D内调和函数，且满足CR方程，xyyx，则称是的共轭调和函数。2、定理1解析函数的虚部与实部都是调和函数。
定理2函数在D内解析虚部是实部的共轭调和函数。
3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部）
理论依据：
（1）虚部、实部是调和函数。
（2）实部与虚部满足CR方程。
求解方法：（例如已知v）
（1）偏积分法：先求uxuy，再求uuxdxy，得出y
（2）利用曲线积分：求uxuydu，再u
xy
x0y0uxdxuydyc
（3）直接凑全微分：求uxuydu，再du
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四、初等函数
1、指数函数wezexeiyexcosyisi
y
性质：（1）ez是单值函数，
（2）ez除无穷远点外处处有定义
（3）ez0
（4）ez处处解析，ezez
（5）eeez1z2
z1z2
（6）ez是周期函数，周期是2ki
2、对数函数wL
zl
ziargzi2k（多值函数）
主值（枝）l
zl
ziargz（单值函数）
性质：（1）定义域是z0，
（2）多值函数
（3）除去原点和负实轴的平面内连续
（4）除去原点和负实轴的平面内解析，
L
z

1z
，
l

z

1z
，
（5）L
z1z2L
z1L
z2
L

z1z2

L
z1

L
z2
3、幂函数wzeL
zz0是复常数）（1）为正整数，函数单值、处处解析，（2）为负整数，函数单值、除去z0及其负实轴处处解析，r