例1如图243所示．在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DF∥EC交BC延长线于F．求证：四边形EBFD是等腰梯形．
分析因为E，D是三角形ABC边AB，AC的中点，所以ED∥BF．此外，还要证明1EBDF；2EB不平行于DF．证因为E，D是△ABC的边AB，AC的中点，所以ED∥BF．又已知DF∥EC，所以ECFD是平行四边形，所以ECDF．①又E是Rt△ABC斜边AB上的中点，所以ECEB．②由①，②EBDF．下面证明EB与DF不平行．若EB∥DF，由于EC∥DF，所以有EC∥EB，这与EC与EB交于E矛盾，所以EBDF．
根据定义，EBFD是等腰梯形．例2如图244所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，ABAC且AB⊥AC，BDBC，AC，BD交于O求∠BCD的度数．
f分析由于△BCD是等腰三角形，若能确定顶点∠CBD的度数，则底角∠BCD可求．由等腰Rt△ABC可求知斜边BC即BD的长．又梯形的高，即Rt△ABC斜边上的中线也可求出．通过添辅助线可构造直角三角形，求出∠BCD的度数．解过D作DE⊥EC于E，则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF．设ABa，由于△ABF也是等腰直角三角形，由勾股定理知AF2BF2AB2，即
又BC2AB2AC22AB22a2，由于BCDB，所以，在Rt△BED中，
从而∠EBD30°直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理．在△CBD中，
f例3如图245所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A90°，∠ADC135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M．求证：ADBF．
分析MF是DC的垂直平分线，所以NDNC．由AD∥BC及∠ADC135°知，∠C45°，从而∠NDC45°，∠DNC90°，所以ABND是矩形，进而推知△BFN是等腰直角三角形，从而ADBNBF．证连接DN．因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点，所以NDNC．由已知，AD∥BC及∠ADC135°知∠C45°，从而∠NDC45°．在△NDC中，∠DNC90°∠DNB，所以ABND是矩形，所以AF∥ND，∠F∠DNM45°．△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形，所以BNBF．又ADBN，所以ADBF．例4如图246所示．直角梯形ABCD中，∠C90°，AD∥BC，ADBCAB，E是CD的中点．若AD2，BC8，求△ABE的面积．
f分析由于ABADBC，即一腰AB的长等于两底长之和，它启发我们利用梯形的中位线性质这个性质在教材中是梯形的重要性质，我们将在下一讲中深入研究它，这里只引用它的结论．取腰AB的中点F，
或BC．A引AG⊥BC于G，EF于H，AH，分别是△AEF与△BEF过交则GH的高，所以AG2AB2BG28228221003664，所以AG8．这样S△ABES△AEFS△BEF可求．解取AB中点F，连接EF．由梯形中位线性质知EF∥AD或r